ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 983: Векторы

План решения. Рассмотрим геометрическую конфигурацию. Пусть AB — диаметр окружности с центром в точке O. Прямая l является касательной к окружности. Из концов диаметра A и B опущены перпендикуляры на касательную: AA₁=18 см и BB₁=12 см. Нам нужно найти длину отрезка AB. Вычисление. Так как AA₁⊥l и BB₁⊥l, то отрезки AA₁ и BB₁ параллельны друг другу. Следовательно, четырехугольник AA₁B₁B является прямоугольной трапецией (или вырожденным случаем, если концы лежат по разные стороны от точки касания, но обычно в таких задачах подразумевается одна сторона или сумма проекций).Опустим перпендикуляр из центра O на касательную l. Пусть точка касания обозначена T. Радиус OT перпендикулярен касательной l. Таким образом, OT∥AA₁∥BB₁.Отрезок OT является средней линией трапеции AA₁B₁B (если рассматривать проекции точек A,O,B на прямую, перпендикулярную касательной). Однако более простой подход использует свойство проекций.Пусть угол между диаметром AB и касательной равен α. Тогда расстояния от концов диаметра до касательной можно выразить через проекции радиуса.Более элементарный способ для школьного курса:Проведем ось симметрии или используем координатный метод/свойство средней линии.Рассмотрим трапецию AA₁B₁B. Точка O — середина основания AB. Опустим перпендикуляр OH из точки O на прямую A₁B₁ (касательную). Так как O — середина AB, а AA₁∥OH∥BB₁, то OH является средней линией трапеции AA₁B₁B?Нет, это верно только если A_1,H,B₁ лежат на одной прямой и H — середина A₁B₁. Да, так как проекция середины отрезка есть середина проекции этого отрезка, то H действительно середина A₁B₁.Следовательно, длина OH равна полусумме длин оснований трапеции:OH=AA₁+BB₁/2Подставим данные:OH=18+12/2=30/2=15 смНо что такое OH? Это расстояние от центра окружности до касательной. По определению касательной, расстояние от центра до касательной равно радиусу R.Значит, R=15 см.Диаметр D связан с радиусом формулой D=2R.D=2·15=30 см Проверка. Если бы концы диаметра находились по разные стороны от точки касания (что невозможно для выпуклой фигуры относительно прямой, касающейся её, если сама прямая не пересекает круг), то мы бы рассматривали разность. Но касательная касается окружности в одной точке, и вся окружность лежит по одну сторону от касательной. Значит, все точки окружности имеют положительные расстояния до касательной (в выбранном направлении нормали).Центр находится ровно посередине между «крайними» точками по высоте относительно касательной? Нет, центр находится на расстоянии R от касательной. Концы диаметра находятся на расстоянии R-Rcosθ и R+Rcosθ? Или проще: пусть диаметр наклонен под углом φ к касательной. Тогда проекции радиуса на нормаль дают разницу высот.Давайте проверим через векторы. Пусть n — единичный вектор нормали к касательной. Расстояние от точки P до касательной есть скалярное произведение (OP-OT)·n, где T — точка касания. Так как OT⊥n, то OT·n=0 (если начало координат в центре). Тогда расстояние от точки X до касательной равно |\vec{OX} \cdot \vec{n}|. Поскольку вся окружность по одну сторону, знак один и тот же.d_A=OA·n=18 d_B=OB·n=12 Так как OB=-OA (противоположные концы диаметра), то должно быть d_B=-d_A? Это противоречие возникает, если мы берем алгебраические расстояния от центра. Но здесь даны геометрические расстояния от прямой. Пересмотрим логику со средней линией. Точки A и B лежат на окружности. O — центр. A_1,B₁ — проекции на касательную. OO₁ — проекция центра на касательную. Длина OO₁=R. Векторно: OO₁=AA₁+BB₁/2? Это верно, если O — середина AB. Проекция середины отрезка равна полусумме проекций концов отрезка. То есть, если мы спроецируем точки A,B,O на направление нормали к касательной, то координата проекции точки O будет средним арифметическим координат проекций точек A и B. Координата проекции A равна 18. Координата проекции B равна 12. Координата проекции O равна R (так как расстояние от центра до касательной равно радиусу). Следовательно: R=18+12/2=15 Диаметр D=2R=30. Логика верна.