ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 987: Векторы

План решения.

Вспомним свойства равнобедренной трапеции. Если опустить перпендикуляры из вершин меньшего основания на большее, то отрезки, отсекаемые у концов большего основания, равны между собой. Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований. Нам нужно выразить сумму оснований через данные отрезки.

Вычисление.

Пусть AD — большее основание, а BC — меньшее основание трапеции ABCD. Опустим высоту BH из вершины B на основание AD. По условию, точка H делит AD на два отрезка: AH и HD. Так как трапеция равнобедренная, то проекция боковой стороны AB на основание AD (отрезок AH) равна половине разности оснований:

Отрезок HD равен сумме проекции меньшего основания и второй половины разности оснований, или проще:

Заметим, что выражение AD+BC/2 — это в точности формула средней линии трапеции (m). Таким образом, длина отрезка HD равна длине средней линии.

По условию задачи, больший из двух отрезков, на которые высота делит основание, равен 7 см. Сравним длины AH и HD:

Так как BC>0, то очевидно, что HD>AH. Следовательно, большим отрезком является HD, и его длина равна 7 см.

Так как средняя линия m=HD, то:

Проверка.

Рассмотрим конкретный пример. Пусть основания трапеции AD=10 см и BC=4 см. Тогда средняя линия равна (10+4)/2=7 см. Высота, опущенная из вершины B, образует прямоугольный треугольник с катетом AH=(10-4)/2=3 см. Второй отрезок основания будет HD=10-3=7 см. Больший отрезок действительно равен 7 см и совпадает со значением средней линии. Логика верна.