ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 989: Первый признак равенства треугольников

Для доказательства двойного неравенства |x|-|y|≤|x+y|≤|x|+|y| рассмотрим два случая взаимного расположения векторов x и y. Случай 1: Векторы не коллинеарны. Построим сумму векторов по правилу треугольника. Пусть OA=x и AB=y. Тогда OB=x+y. Рассмотрим треугольник OAB. Его стороны имеют длины |\vec{x}|, |\vec{y}| и |\vec{x} + \vec{y}|.По свойству сторон треугольника (сумма двух сторон больше третьей, а разность меньше третьей):|x+y||\vec{x} + \vec{y}| > |\vec{x}| - |\vec{y}|(если|\vec{x}| \ge |\vec{y}|) или|\vec{x} + \vec{y}| > |\vec{y}| - |\vec{x}|(если|\vec{y}| > |\vec{x}|). В обоих случаях это можно записать как|\vec{x} + \vec{y}| > ||\vec{x}| - |\vec{y}|| \ge |\vec{x}| - |\vec{y}|.Таким образом, для неколлинеарных векторов строгие неравенства выполняются, что влечет за собой и нестрогие. Случай 2: Векторы коллинеарны. Здесь возможны три подслучая: Векторы сонаправлены. Тогда|\vec{x} + \vec{y}| = |\vec{x}| + |\vec{y}|. Левое неравенство|\vec{x}| - |\vec{y}| \le |\vec{x}| + |\vec{y}|верно всегда, так как модуль неотрицателен (-|\vec{y}| \le |\vec{y}|). Векторы противоположно направлены. Пусть|\vec{x}| \ge |\vec{y}|. Тогда|\vec{x} + \vec{y}| = |\vec{x}| - |\vec{y}|. Правое неравенство|\vec{x}| - |\vec{y}| \le |\vec{x}| + |\vec{y}|верно, так как-|\vec{y}| \le |\vec{y}|. Если же|\vec{y}| > |\vec{x}|, то|\vec{x} + \vec{y}| = |\vec{y}| - |\vec{x}|. Нужно проверить левую часть:|\vec{x}| - |\vec{y}| \le |\vec{y}| - |\vec{x}| \iff 2|\vec{x}| \le 2|\vec{y}| \iff |\vec{x}| \le |\vec{y}|, что верно по условию этого подслучая. Один из векторов нулевой. Например,\vec{y} = \vec{0}. Тогда|\vec{x}| - 0 \le |\vec{x}| \le |\vec{x}| + 0, то есть|\vec{x}| \le |\vec{x}| \le |\vec{x}|$, равенство выполняется.Во всех случаях двойное неравенство доказано.