ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 992: Первый признак равенства треугольников

Для решения задачи выразим искомые векторы через заданные базисные векторы a=BA и b=CD. Сначала проанализируем геометрические соотношения в трапеции ABCD.

По условию основание AD в 3 раза больше основания BC, то есть AD=3BC. Поскольку ABCD — трапеция с основаниями AD и BC, то векторы BC и AD сонаправлены. Следовательно, AD=3BC или BC=1/3AD.

Точка K лежит на стороне AD так, что AK=1/3AD. Это означает, что отрезок AK равен по длине отрезку BC и параллелен ему (так как BC∥AD). Таким образом, четырехугольник ABCK является параллелограммом (одна пара противоположных сторон AK и BC равны и параллельны).

1. Выражение вектора CK

В параллелограмме ABCK противоположные стороны равны и параллельны. Вектор CK соответствует вектору BA? Нет, давайте посмотрим внимательнее. Стороны параллелограмма: AB и KC, AK и BC. Вектор CK направлен из C в K. Вектор BA направлен из B в A. Так как ABCK — параллелограмм, то CK=BA. По условию BA=a. Значит, CK=a.

2. Выражение вектора KD

Рассмотрим треугольник CKD или путь по сторонам. Нам нужно найти KD. Мы знаем, что CD=b. Также мы нашли, что CK=a. По правилу треугольника для векторов: CK+KD=CD. Отсюда следует, что KD=CD-CK. Подставляем известные значения: KD=b-a.

3. Выражение вектора BC

Нам нужно выразить BC через a и b. Рассмотрим замкнутый контур трапеции или используем найденные векторы. Мы знаем, что AD=AK+KD. Так как AK=1/3AD и AD=3BC, то AK=BC. Вектор AK равен вектору BC (так как они сонаправлены и равны по модулю). То есть AK=BC. Давайте найдем BC другим способом, используя сумму векторов вдоль боковых сторон и оснований. Рассмотрим путь из B в C: BC. Рассмотрим путь из B в D двумя способами: 1) BD=BA+AD=a+3BC. 2) BD=BC+CD=BC+b. Приравниваем правые части: a+3BC=BC+b. Переносим слагаемые с BC влево, остальные вправо: 3BC-BC=b-a 2BC=b-a BC=1/2(b-a)=1/2b-1/2a.