ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 993: Первый признак равенства треугольников

План решения.

Для доказательства равенства векторов удобно использовать метод разложения по базису или свойства линейных комбинаций. Нам дано соотношение между длинами отрезков BC=1/2AB. Поскольку точки A,B,C лежат на одной прямой (так как речь идет о векторном равенстве для произвольной точки O, обычно подразумевается коллинеарность векторов AB и BC), нужно определить порядок расположения точек. Из условия BC=1/2AB следует, что точка B лежит между A и C? Нет, давайте проверим векторное соотношение. Если точки расположены в порядке A,B,C, то векторы AB и BC сонаправлены. Тогда AC=AB+BC. Так как |BC|=1/2|AB|, то BC=1/2AB. Выразим вектор OB через OA и OC. Известно, что OB=OA+AB и OC=OB+BC. Также можно выразить AB и BC через AC. AC=AB+BC=AB+1/2AB=3/2AB. Отсюда AB=2/3AC. Тогда BC=1/2AB=1/2(2/3AC)=1/3AC. Теперь выразим OB: OB=OA+AB=OA+2/3AC. Заменим AC на OC-OA: OB=OA+2/3(OC-OA)=OA+2/3OC-2/3OA=1/3OA+2/3OC. Это совпадает с доказываемым равенством. Однако, условие не указывает явно порядок точек. Если бы порядок был другим, например A,C,B, то векторы были бы направлены иначе. Но стандартная задача такого типа предполагает, что B делит отрезок AC в отношении 2:1 считая от A (так как AB=2BC). Проверим это предположение. Если AB=2BC, то AC=AB+BC=3BC, значит BC=1/3AC и AB=2/3AC. Это соответствует нашему выводу выше. Ход решения. 1. Рассмотрим векторы, исходящие из произвольной точки O: OA,OB,OC. 2. По условию задачи длины отрезков связаны соотношением BC=1/2AB. Для того чтобы равенство векторов выполнялось для любой точки O, точки A,B,C должны быть коллинеарны, а векторы AB и BC должны быть сонаправлены (то есть точка B лежит между точками A и C). 3. Запишем векторное соотношение для отрезков: BC=1/2AB. 4. Выразим вектор AB через векторы OA и OB: AB=OB-OA. 5. Выразим вектор BC через векторы OB и OC: BC=OC-OB. 6. Подставим эти выражения в соотношение из пункта 3: OC-OB=1/2(OB-OA) 7. Раскроем скобки и перегруппируем слагаемые, чтобы выразить OB: OC-OB=1/2OB-1/2OA Перенесем все слагаемые с OB в одну сторону, остальные — в другую: OC+1/2OA=OB+1/2OB OC+1/2OA=3/2OB 8. Умножим обе части уравнения на 2/3: OB=2/3OC+2/3(1/2OA) OB=2/3OC+1/3OA 9. Переписав слагаемые в нужном порядке, получаем: OB=1/3OA+2/3OC Проверка. Подставим конкретные координаты для проверки. Пусть точка O совпадает с началом координат (0;0). Пусть точка A имеет координату x_A=3. Так как AB=2BC и точки идут в порядке A,B,C, пусть длина BC=k, тогда AB=2k. Общая длина AC=3k. Если мы выберем масштаб так, чтобы A=3, то удобно взять k=1. Тогда AB=2,BC=1. Координата B=x_A+2=5. Координата C=x_B+1=6. Проверяем формулу: OB=1/3OA+2/3OC. Левая часть: OB=5. Правая часть: 1/3(3)+2/3(6)=1+4=5. Равенство выполняется. Если бы точка O была другой, скажем x_O=1. Тогда векторы: OA=3-1=2. OB=5-1=4. OC=6-1=5. Формула: 4=1/3(2)+2/3(5)=2/3+10/3=12/3=4. Всё верно.