ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 994: Первый признак равенства треугольников
Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Ольга Кузнецова, преподаватель геометрии Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Точка C делит отрезок AB в отношении m:n, считая от точки A. Докажите, что для любой точки O справедливо равенство OC = (n/(m+n))OA + (m/(m+n))OB.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения.
Для доказательства равенства воспользуемся свойствами векторов. Нам дано, что точка C делит отрезок AB в отношении m:n, считая от точки A. Это означает, что длины отрезков относятся как AC:CB=m:n. В векторной форме это условие записывается через коллинеарность и направление векторов AC и CB. Наша цель — выразить вектор OC через векторы OA и OB для произвольной точки O.
Вычисление.
1. Запишем условие деления отрезка в векторном виде. Так как точка C лежит на отрезке AB, векторы AC и CB сонаправлены. Из соотношения длин |AC|:|CB|=m:n следует равенство:
AC=m/nCB2. Выразим векторы AC и CB через радиус-векторы точек A,B,C относительно начала координат (или любой точки O). По правилу треугольника (вычитания векторов):
AC=OC-OA CB=OB-OC3. Подставим эти выражения в равенство из пункта 1:
OC-OA=m/n(OB-OC)4. Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые с OC в левой части, а остальные перенесем в правую:
OC-OA=m/nOB-m/nOC OC+m/nOC=OA+m/nOB5. Вынесем OC за скобки в левой части:
OC(1+m/n)=OA+m/nOB6. Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:
1+m/n=n+m/nТогда уравнение примет вид:
OC·m+n/n=OA+m/nOB7. Умножим обе части равенства на n/m+n, чтобы выразить OC:
OC=n/m+n(OA+m/nOB) OC=n/m+nOA+n/m+n·m/nOBСократим n во втором слагаемом:
OC=n/m+nOA+m/m+nOBЧто и требовалось доказать.
Проверка.
Рассмотрим частный случай, когда точка C является серединой отрезка AB. Тогда m=n=1. Формула дает:
OC=1/1+1OA+1/1+1OB=1/2OA+1/2OBЭто известная формула для вектора, идущего в середину отрезка. Также проверим граничные случаи: если m=0 (точка C совпадает с A), то OC=n/nOA+0=OA, верно. Если n=0 (точка C совпадает с B), то OC=0+m/mOB=OB, верно. Коэффициенты при OA и OB в сумме дают n+m/m+n=1, что соответствует свойству аффинной комбинации точек на прямой.
Доказательство завершено:
OC=n/m+nOA+m/m+nOB
В условии использованы обозначения OA, OB, OC без стрелок над ними, но контекст 'докажите равенство' и структура формулы явно указывают на векторное доказательство (формула деления отрезка пополам/в заданном отношении). В решении я явно перешел к векторным обозначениям (OA и т.д.), так как скалярные длины не образуют такого линейного сочетания для произвольной точки O. Это стандартный подход в геометрии 9 класса.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 994 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 994?
Краткий ответ: Доказательство завершено: OC = nm+n OA + mm+n OB.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 1. Первый признак равенства треугольников.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.