ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 997: Первый признак равенства треугольников

План доказательства.

Рассмотрим трапецию ABCD с основаниями AD и BC. Пусть M — середина боковой стороны AB, а N — середина боковой стороны CD. Тогда отрезок MN является средней линией трапеции. Нам нужно доказать, что точка пересечения биссектрис углов A и B (обозначим её K) лежит на прямой MN. Для этого воспользуемся свойством равнобедренного треугольника и признаком параллельности прямых. Если мы покажем, что расстояние от точки K до прямой AD равно расстоянию от неё до прямой BC, то по теореме о точках, равноудалённых от концов отрезка (или через свойства медианы в прямоугольном треугольнике), можно сделать вывод о положении точки относительно средней линии.

Ход вычислений и рассуждений.

1. Так как AK — биссектриса угла DAB, то ДAK= КAB. Обозначим эти углы через α. То есть ДAK= КAB=α. 2. Так как BK — биссектриса угла ABC, то КBA= КBC. Обозначим эти углы через β. То есть КBA= КBC=β. 3. В трапеции сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна 180^°. Следовательно, ДAB+ КBC=180^°, то есть 2α+2β=180^°, откуда α+β=90^°. 4. Рассмотрим треугольник ABK. Сумма его углов равна 180^°: КAB+ КBA+ КKB=180^° Подставив значения: α+β+ КKB=180^°. Так как α+β=90^°, то КKB=180^°-90^°=90^°. Значит, треугольник ABK — прямоугольный с гипотенузой AB. 5. Проведём из вершины прямого угла K высоту KH к гипотенузе AB. Но нам удобнее использовать другое свойство. Пусть M — середина гипотенузы AB. По теореме о медиане, проведённой к гипотенузе прямоугольного треугольника, KM=AM=MB=1/2AB. 6. Теперь рассмотрим положение точки K относительно оснований. Проведём через точку K прямую, параллельную основаниям AD и BC. Докажем, что эта прямая совпадает со средней линией MN. Более простой путь: докажем, что проекция точки K на боковую сторону AB делит её пополам? Нет, это неверно. Используем указание учебника (теорема п. 39 обычно связана с свойствами биссектрис или средней линии). Давайте посмотрим на углы. Проведем через K прямую l|AD. Тогда ДAK= КKL (накрест лежащие). Так как ДAK= КAB, то КKL= КAB. Значит, треугольник ALK (где L — точка на прямой l?) нет, давайте иначе. Пусть прямая MN пересекает биссектрису AK в точке K′. Докажем, что K′ лежит на биссектрисе BK. Так как MN — средняя линия, то MN|AD|BC. Рассмотрим угол КAM. Так как MN|AD, то КMKA= ДAK (накрест лежащие углы). По условию AK — биссектриса, значит ДAK= КAB. Следовательно, КMKA= КAB (или КMAK). Треугольник AMK′ (где K′ — пересечение MN и AK) является равнобедренным с основанием AK′? Нет, углы при основании AM и MK′ равны? У нас КMKA= КMAK. Значит, треугольник AMK′ равнобедренный с AM=MK′. Аналогично для второй стороны: пусть MN пересекает BK в точке K′′. Так как MN|BC, то КMK′B= КCBK (накрест лежащие). А так как BK — биссектриса, КCBK= КKBA. Значит, КMK′B= КMBK′. Треугольник BMK′′ равнобедренный с BM=MK′′. Так как M — середина AB, то AM=BM. Из первого равенства: MK′=AM. Из второго равенства: MK′′=BM. Следовательно, MK′=MK′′. Так как точки K′ и K′′ лежат на одной прямой MN по одну сторону от M (внутри трапеции), то K′ и K′′ совпадают. Обозначим эту общую точку как K. Таким образом, точка пересечения биссектрис AK и BK лежит на прямой MN.

Проверка результата.

Мы использовали только свойства параллельных прямых (MN|AD|BC), определение биссектрисы и признак равнобедренного треугольника (если два угла треугольника равны, то он равнобедренный). Логическая цепочка не содержит противоречий. Точка K удовлетворяет условиям принадлежности обеим биссектрисам и лежит на средней линии. Утверждение доказано.