7–9 классы Первый признак равенства треугольников § 1. Первый признак равенства треугольников

ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 995: Первый признак равенства треугольников

Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.

Кирилл Панов, преподаватель геометрии Шпаргача обновлено 11 сентября 2026

← 994 996 →

Условие

Точки A и C — середины противоположных сторон произвольного четырёхугольника, а точки B и D — середины двух других его сторон. Докажите, что для любой точки O верно равенство OA+OC=OB+OD.

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

План решения.

Для доказательства равенства векторов OA+OC=OB+OD воспользуемся методом разложения векторов через произвольную точку O. Нам нужно выразить векторы OA,OC,OB,OD через векторы сторон четырёхугольника или диагоналей, используя свойства середин отрезков. Ключевая идея: сумма векторов из точки O к противоположным вершинам (или серединам) связана с геометрическим центром фигуры.

Вычисление и доказательство.

Пусть дан произвольный четырёхугольник PQRS (назовём его вершины так, чтобы не путать с точками A, B, C, D). Пусть:

A — середина стороны PQ,
C — середина противоположной стороны RS,
B — середина стороны QR,
D — середина стороны SP.

Рассмотрим сумму векторов OA+OC. Так как A — середина PQ, то по правилу сложения векторов имеем:

OA=1/2(OP+OQ)

Аналогично, так как C — середина RS:

OC=1/2(OR+OS)

Сложим эти выражения:

OA+OC=1/2(OP+OQ+OR+OS)

Теперь рассмотрим сумму OB+OD. Точка B — середина QR, поэтому:

OB=1/2(OQ+OR)

Точка D — середина SP, поэтому:

OD=1/2(OS+OP)

Сложим эти выражения:

OB+OD=1/2(OQ+OR+OS+OP)

Видим, что правые части обоих равенств совпадают, так как сложение векторов коммутативно (a+b=b+a).

Проверка и вывод.

Мы получили:

OA+OC=1/2(OP+OQ+OR+OS) OB+OD=1/2(OP+OQ+OR+OS)

Следовательно, OA+OC=OB+OD. Это равенство верно для любой точки O, так как мы не использовали никаких специфических свойств положения точки O относительно четырёхугольника. Геометрически это означает, что середины противоположных сторон любого четырёхугольника образуют параллелограмм (теорема Вариньона), а пересечение диагоналей этого параллелограмма является центроидом исходного четырёхугольника, который делит суммы векторов поровну.

Ответ

Доказано: OA+OC=OB+OD

Задача решается через векторное представление середин отрезков. Важно четко обозначить вершины исходного четырехугольника (например, P, Q, R, S), чтобы не путать их с точками A, B, C, D. Используется формула радиус-вектора середины отрезка.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 995 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 995?

Краткий ответ: Доказано: OA + OC = OB + OD.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 1. Первый признак равенства треугольников.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.