ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 999: 94. Координаты вектора

План решения.

Для нахождения коэффициента k в равенстве векторов u=kv нужно определить отношение длин этих векторов и направление их действия. Если векторы сонаправлены, то k>0. Если векторы противоположно направлены, то k<0. Вспомним свойства параллелограмма: диагонали точкой пересечения делятся пополам (AO=OC, BO=OD), а противоположные стороны равны и параллельны (AB∥DC, BC∥DA). Также учтём, что M — середина отрезка AO, значит AM=MO=1/2AO.

Вычисления по пунктам.

• а) AC=kAO. Точка O — середина диагонали AC, поэтому вектор AC вдвое длиннее вектора AO и направлен с ним в одну сторону (от A к C через O). Следовательно, k=2.
• б) BO=kBD. Точка O — середина диагонали BD. Вектор BO начинается в B и заканчивается в центре O. Вектор BD начинается в B и заканчивается в D. Они сонаправлены, причём длина BO составляет половину длины BD. Значит, k=1/2.
• в) OC=kCA. Вектор OC направлен от центра O к вершине C. Вектор CA направлен от вершины C к вершине A (то есть против направления OC). Длины: OC=1/2AC, а CA=AC. Отношение длин 1/2, но направления противоположны. Поэтому k=-1/2.
• г) AB=kDC. В параллелограмме ABCD стороны AB и DC параллельны и равны. По правилу обхода вершин или свойств параллелограмма, вектор AB равен вектору DC (они сонаправлены и равны по длине). Следовательно, k=1.
• д) BC=kDA. Стороны BC и DA параллельны и равны. Вектор BC направлен от B к C, а вектор DA — от D к A. Эти векторы противоположно направлены. Так как их длины равны, то k=-1.
• е) AM=kCA. Сначала выразим AM через диагональ. M — середина AO, значит AM=1/2AO=1/4AC. Вектор AM направлен от A к M (в сторону C). Вектор CA направлен от C к A (противоположно AM). Длина AM составляет четверть длины CA. Направления противоположны, поэтому k=-1/4.
• ж) MC=kAM. Найдем длину MC. MC=MO+OC. Так как MO=AM и OC=AO=2AM, то MC=AM+2AM=3AM. Вектор MC направлен от M к C. Вектор AM направлен от A к M. Поскольку точки A,M,O,C лежат на одной прямой в таком порядке, векторы AM и MC сонаправлены (оба идут "вправо" вдоль диагонали от A к C). Следовательно, k=3.
• з) AC=kCM. Вектор AC направлен от A к C. Вектор CM направлен от C к M (то есть обратно к A). Они противоположно направлены. Вычислим отношение длин. Мы знаем из пункта ж), что MC=3AM. Тогда вся диагональ AC=AM+MC=AM+3AM=4AM. А вектор CM имеет длину MC=3AM. Отношение длин AC/CM=4AM/3AM=4/3. Учитывая противоположное направление, получаем k=-4/3.
• и) AO=kBD. Вектор AO лежит на диагонали AC, а вектор BD — на диагонали BD. В общем случае параллелограмма диагонали не параллельны друг другу. Равенство коллинеарных векторов возможно только если один из них нулевой или они параллельны. Здесь векторы непараллельны, поэтому число k не существует.

Проверка.

Перепроверим знаки для пунктов с отрицательным ответом. В п. в) OC и CA действительно смотрят в разные концы диагонали относительно точки C? Нет, OC идет O→C, CA идет C→A. Да, встречные. Знак минус верен. В п. е) AM идет A→M, CA идет C→A. Встречные. Знак минус верен. В п. з) AC идет A→C, CM идет C→M (то есть назад к A). Встречные. Знак минус верен. Логика соотношения длин также подтверждена геометрией середины отрезка.