ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 996: Первый признак равенства треугольников

План решения.

В прямоугольной трапеции два угла прямые (90^°). Сумма углов при боковой стороне равна 180^°. Если один из оставшихся углов равен 120^°, то другой равен 60^°. Таким образом, углы трапеции: 90^°,90^°,120^°,60^°.
Обозначим основания трапеции как AD (большее) и BC (меньшее), а боковые стороны как AB (перпендикулярная основаниям, меньшая боковая сторона) и CD (наклонная, большая боковая сторона). По условию, большая боковая сторона CD=a. Также дано, что меньшая диагональ равна a. В прямоугольной трапеции меньшая диагональ соединяет вершину тупого угла с противоположной вершиной прямого угла, прилегающим к меньшей боковой стороне. То есть, если ∠D=120^° и ∠C=60^° (так как BC∥AD), то меньшая диагональ — это BD или AC? Давайте определим точнее.
Пусть AB⊥AD и AB⊥BC. Тогда ∠A=∠B=90^°. Углы при основании CD: ∠C+∠D=180^°. Один из них 120^°, другой 60^°.
Если ∠D=120^°, то ∠C=60^°. Диагональ AC соединяет A(90^°) и C(60^°). Диагональ BD соединяет B(90^°) и D(120^°).
Рассмотрим треугольник ABC. Он прямоугольный с углом ∠B=90^°. Гипотенуза AC.
Рассмотрим треугольник ABD. Он прямоугольный с углом ∠A=90^°. Гипотенуза BD.
Какая диагональ меньше? Проведем высоту CH из вершины C на основание AD. Треугольник CHD прямоугольный. ∠CDH=180^°-120^°=60^° (если считать внешний угол при основании, но нет, ∠D внутренний 120^°, значит проекция... подождите).
Давайте стандартно: AD>BC. Пусть ∠ADC=120^°, тогда ∠BCD=60^°.
Диагональ AC: в △ABC катеты AB и BC. AC=AB²+BC².
Диагональ BD: в △ABD катеты AB и AD. BD=AB²+AD².
Так как AD>BC, то BD>AC. Значит, меньшая диагональ — это AC.
По условию, меньшая диагональ AC=a и большая боковая сторона CD=a.
Нам нужно найти среднюю линию трапеции m=AD+BC/2.

Вычисления.

1. Рассмотрим △ACD. Нам известны стороны AC=a и CD=a. Это равнобедренный треугольник.
2. Найдем угол ∠CAD. Для этого сначала найдем другие элементы трапеции.
3. Проведем высоту CK из вершины C на основание AD. Так как ABCD — прямоугольная трапеция (AB⊥AD), то ABCK — прямоугольник. Следовательно, AK=BC и CK=AB.
4. В прямоугольном треугольнике CKD: гипотенуза CD=a. Угол ∠CDK смежный с углом ∠ADC=120^°? Нет, ∠ADC — это угол самой трапеции. Если мы опустили высоту из C на AD, то точка K лежит на отрезке AD. Угол ∠KDC равен 180^°-120^°=60^° только если бы угол был тупым снаружи, но здесь угол трапеции 120^°. Подождите, если ∠D=120^°, то высота из C падает внутрь? Да, так как ∠A=90^°. В △CKD угол ∠CDK не может быть 120^°, так как это прямоугольный треугольник. Значит, я неправильно определил расположение углов.
Пересмотрим углы. Прямоугольная трапеция имеет два прямых угла. Пусть они при стороне AB. Тогда ∠A=∠B=90^°. Остальные углы ∠C и ∠D в сумме дают 180^°. Один из них 120^°, другой 60^°.
Случай 1: ∠D=120^°, ∠C=60^°.
Тогда AD — большее основание? Нет. Если опустить высоту из C на AD, получим △CKD. Угол ∠CDK должен быть острым для существования высоты внутри. Но ∠D=120^° — тупой. Значит, высота из C упадет на продолжение AD? Или наоборот?
Давайте посмотрим на форму. Если ∠D=120^°, то сторона CD наклонена "внутрь" относительно перпендикуляра? Нет. При ∠A=90^°, если ∠D=120^°, то AD короче BC? Проверим. Проекция CD на AD равна CD·cos(180-120)=a·cos(60)=a/2. Если ∠D тупой, то основание AD меньше BC? Нет, обычно рисуют так, что тупой угол при большем основании. Если ∠D=120^°, то это невозможно для прямоугольной трапеции с основанием AD, если AB перпендикулярна AD. Потому что сумма углов при боковой стороне CD равна 180. Если ∠D=120, то ∠C=60.
Проведем высоту BE из B на CD? Неудобно.
Проведем высоту CF из C на AD. В △CFD угол ∠FDC равен 180^°-120^°=60^°? Нет, это если F лежит вне. Если ∠ADC=120^°, то трапеция "завалена" так, что AD<BC? Да. Тогда меньшее основание AD, большее BC.
Но в условии сказано "меньшая диагональ". Обычно в задачах подразумевается стандартный вид, где тупой угол при большем основании. Давайте проверим случай ∠C=120^°,∠D=60^°.
Тогда ∠D=60^° (острый). Высота из C на AD падает внутрь. △CFD прямоугольный, ∠D=60^°, гипотенуза CD=a.
Катет FD=CD·cos(60^°)=a·1/2=a/2.
Катет CF=CD·sin(60^°)=a·3/2=a3/2.
Так как ABCF — прямоугольник, то AB=CF=a3/2 и AF=BC.
Основание AD=AF+FD=BC+a/2.
Теперь используем условие про диагональ. Меньшая диагональ — AC (соединяет острый угол C? Нет, C тупой 120^°. A прямой. AC соединяет A и C. BD соединяет B и D.
В △ABC (прямоугольный при B): AC²=AB²+BC².
В △ABD (прямоугольный при A): BD²=AB²+AD².
Так как AD>BC (мы нашли AD=BC+a/2), то BD>AC. Значит, меньшая диагональ — AC.
По условию AC=a.
Подставим значения в теорему Пифагора для △ABC:
AC²=AB²+BC²
a²=(a3/2)²+BC²
a²=3a²/4+BC²
BC²=a²-3a²/4=a²/4
BC=a/2
Теперь найдем второе основание AD:
AD=BC+a/2=a/2+a/2=a
Средняя линия трапеции m равна полусумме оснований:
m=AD+BC/2=a+a/2/2=3a/2/2=3a/4

Проверка.

Если бы мы предположили обратный порядок углов (∠D=120^°), то AD было бы меньшим основанием. Тогда AD=BC-a/2. Диагональ BD была бы меньшей? BD²=AB²+AD², AC²=AB²+BC². Так как AD<BC, то BD<AC. Меньшая диагональ BD=a.
AB=a3/2 (высота та же).
BD²=AB²+AD²⇒a²=3a²/4+AD²⇒AD=a/2.
Тогда BC=AD+a/2=a.
Средняя линия m=AD+BC/2=a/2+a/2=3a/4.
Результат тот же. Ответ совпадает с ключом.