ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 985: Векторы

План решения.

Для доказательства того, что средняя линия трапеции проходит через середины диагоналей, воспользуемся методом векторов или свойством подобия треугольников. Рассмотрим трапецию ABCD с основаниями AD и BC. Пусть M и N — середины боковых сторон AB и CD соответственно, тогда отрезок MN является средней линией трапеции. Нам нужно доказать, что средняя линия MN пересекает диагонали AC и BD в их серединах. Обозначим точку пересечения MN с диагональю AC как K, а с диагональю BD как L. Докажем, что K — середина AC, а L — середина BD.

Вычисление и доказательство.

Введем систему координат или будем использовать векторный метод. Пусть начало координат находится в вершине A. Векторы AD=d и AB=b. Так как BC≠AD (трапеция), то BC=kd для некоторого k≠1. Тогда AC=AB+BC=b+kd.

Середина M стороны AB имеет радиус-вектор m=1/2b. Середина N стороны CD: сначала найдем D=d, C=b+kd. Тогда n=c+d/2=b+kd+d/2=1/2b+k+1/2d.

Уравнение прямой MN можно задать параметрически: r=m+t(n-m). Подставим выражения: n-m=k+1/2d. Значит, любая точка на MN имеет вид r=1/2b+sd, где s — параметр.

Рассмотрим диагональ AC. Любая точка на ней имеет вид r_AC=u(b+kd)=ub+ukd, где 0≤u≤1. Точка пересечения K должна удовлетворять обоим уравнениям:

Так как векторы b и d не коллинеарны (это смежные стороны трапеции, не лежащие на одной прямой), приравниваем коэффициенты при них:

• При b: 1/2=u
• При d: s=uk

Из первого равенства следует, что u=1/2. Это означает, что точка K делит диагональ AC в отношении 1:1, то есть K является серединой диагонали AC.

Аналогично рассмотрим диагональ BD. B=b, D=d. Уравнение прямой BD: r_BD=vb+(1-v)d? Нет, лучше через вектор BD=d-b. Точка на BD: r=b+w(d-b)=(1-w)b+wd.

Пересечение с MN (r=1/2b+sd):

Приравниваем коэффициенты:

• При b: 1/2=1-w⇒w=1/2
• При d: s=w=1/2

Так как w=1/2, точка пересечения L является серединой диагонали BD.

Проверка.

Мы показали, что прямая, проходящая через середины боковых сторон трапеции (средняя линия), содержит точки, которые являются серединами обеих диагоналей. Действительно, если провести линию через середины боковых сторон, она параллельна основаниям. Треугольник ABC отсекается этой линией так, что она проходит через середину AB и параллельна основанию BC (если рассматривать проекцию) или точнее, используя теорему Фалеса/подобие: в треугольнике ADC линия, проходящая через середину CD параллельно AD, пересечет AC в его середине. Но наша линия MN параллельна AD. В треугольнике ACD точка N — середина CD. Прямая, проходящая через N параллельно AD, будет средней линией треугольника ACD и пересечет AC в его середине. Эта же прямая лежит на средней линии трапеции. Аналогично для треугольника ABD: точка M — середина AB, прямая через M параллельно AD (часть средней линии трапеции) пересечет BD в его середине. Следовательно, средняя линия трапеции действительно проходит через середины диагоналей.