ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 980: Векторы

План доказательства.

Пусть дан треугольник ABC. Обозначим середины сторон AB и AC точками M и N соответственно. Отрезок MN является средней линией треугольника. Нам нужно доказать два утверждения:

• MN∥BC (средняя линия параллельна третьей стороне);
• MN=1/2BC (длина средней линии равна половине длины третьей стороны).

Введем векторы: пусть AB=b и AC=c. Тогда вектор BC можно выразить через эти базисные векторы как разность AC-AB.

Вычисление с помощью векторов.

Так как точка M — середина отрезка AB, то вектор AM равен половине вектора AB:

Аналогично, так как точка N — середина отрезка AC, то вектор AN равен половине вектора AC:

Найдем вектор MN, используя правило вычитания векторов (или цепочку сложения MN=MA+AN):

Теперь найдем вектор BC:

Сравнивая полученные выражения, видим связь между векторами MN и BC:

Проверка и выводы.

Из равенства MN=1/2BC следуют оба требуемых утверждения теоремы:

1. Параллельность. Так как вектор MN коллинеарен вектору BC (он равен ему, умноженному на число 1/2), то прямые, содержащие эти векторы, параллельны. Следовательно, MN∥BC.
2. Длина. Модуль вектора MN равен модулю вектора BC, умноженному на коэффициент 1/2:

Это означает, что длина отрезка MN равна половине длины отрезка BC: MN=1/2BC.

Теорема доказана.