ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 973: Векторы

План решения.

Для доказательства равенства длин отрезков и векторов удобно использовать метод координат или разложение по базису. В данном случае наиболее наглядным является использование свойств векторов и середины отрезка. Нам нужно выразить вектор MN через векторы сторон четырёхугольника AD и CB. Для этого введем произвольную точку начала отсчета (например, точку A) и выразим радиус-векторы точек M и N.

Вычисление.

Пусть началом отсчета будет точка A. Тогда радиус-вектор точки A равен нулю: AA=0. Обозначим радиус-векторы вершин четырёхугольника как AB=b, AC=c, AD=d.

1. Найдем радиус-вектор точки M. Так как M — середина диагонали AC, то: AM=1/2AC=1/2c

2. Найдем радиус-вектор точки N. Точка N — середина диагонали BD. Радиус-вектор точки B равен b, а радиус-вектор точки D равен d. По формуле середины отрезка: AN=1/2(AB+AD)=1/2(b+d)

3. Выразим вектор MN: MN=AN-AM=1/2(b+d)-1/2c=1/2(b+d-c)

4. Теперь выразим сумму векторов AD+CB. Заметим, что CB=AB-AC=b-c. Тогда: AD+CB=d+(b-c)=b+d-c

5. Сравнивая результаты пунктов 3 и 4, получаем: MN=1/2(AD+CB)

Так как векторы равны, то равны и их модули (длины): MN=|MN|=|1/2(AD+CB)|=1/2|AD+CB| В условии задачи под записью AD+CB подразумевается сумма длин векторов или векторная сумма, но в контексте геометрических доказательств с использованием векторов обычно доказывается векторное равенство, из которого следует равенство модулей, если векторы сонаправлены, либо просто утверждается равенство величин в векторной форме. Однако стандартная формулировка «докажите равенство MN=1/2(AD+CB)» в школьном курсе геометрии часто предполагает работу с векторами как с направленными отрезками, где правая часть понимается как длина вектора суммы AD+CB, деленная на 2, либо это опечатка в трактовке, и имеется в виду векторное равенство MN=1/2(AD+CB). Если же речь идет о скалярных длинах, то равенство MN=1/2(AD+CB) верно только для вырожденных случаев. Но классическая теоремаVarignon утверждает, что отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен половине разности оснований трапеции или связан с суммой противоположных сторон в векторном смысле. Перечитаем условие внимательно: «Докажите равенство MN=1/2(AD+CB)». В векторной алгебре это запись означает равенство модулей, если скобки означают векторную сумму внутри модуля, или же это упрощенная запись векторного равенства. Доказанное нами векторное равенство MN=1/2(AD+CB) является строгим математическим фактом. Следовательно, длины этих векторов также связаны этим соотношением, если мы интерпретируем правую часть как модуль векторной суммы. Если же AD и CB — это просто числа (длины), то равенство не всегда верно. Однако в задачах такого типа обычно подразумевается векторная природа величин. Таким образом, доказано, что вектор MN равен половине векторной суммы AD и CB.

Проверка.

Рассмотрим частный случай: параллелограмм ABCD. Диагонали пересекаются в одной точке, поэтому M и N совпадают. Тогда MN=0. Векторы AD и CB противоположны (AD=-CB), поэтому их сумма равна нулевому вектору. 1/2(AD+CB)=0. Равенство выполняется. Рассмотрим случай, когда ABCD — трапеция с основаниями AD и BC. Пусть AD∥BC. Векторы AD и CB направлены вдоль одной прямой. Формула работает корректно в векторном смысле.