ГДЗ по информатике, 10 класс, Босова, номер 11.11: Перевод чисел из одной системы в другую

Восьмеричное число имеет вид d₃d₂d₁d₀, где каждая цифра d_i соответствует триаде (b_3i+2b_3i+1b_3i). Значение всего числа определяется весом старших разрядов. Чтобы число было наименьшим , единицы в двоичной записи должны стоять как можно правее (в младших разрядах). Чтобы число было наибольшим , единицы должны стоять как можно левее (в старших разрядах).

Чтобы получить минимальное число, нам нужно «сдвинуть» все пять единиц в конец двоичной записи. Однако важно помнить, что старшая цифра восьмеричного числа не может быть равна 0 (иначе это будет трехзначное число). Старшая триада (d₃) должна содержать хотя бы одну единицу, иначе число станет меньше четырехзначного.

Давайте попробуем разместить единицы максимально справа:

• Младшие триады d₁ и d₀ могут быть заполнены полностью или частично.
• Самая младшая триада d₀ может принять максимум 3 единицы: 111₂=7₈.
• Следующая триада d₁ также может принять максимум 3 единицы: 111₂=7₈.
• У нас всего 5 единиц. Если мы положим 3 единицы в d₀ и 2 единицы в d₁, то останется 0 единиц для d₂ и d₃. Но тогда d₃=0, что недопустимо для четырехзначного числа.

Значит, нам нужно перенести одну единицу в более старший разряд. Попробуем оставить d₃ минимально возможным, но ненулевым. Минимальная ненулевая цифра — это 1 (в двоичном виде 001). Тогда у нас остается 5-1=4 единицы для остальных разрядов d_2,d_1,d₀.

Чтобы число было минимальным, оставшиеся 4 единицы нужно разместить как можно правее:

• d₀ (младшая): принимаем максимум 3 единицы →111₂=7₈. Осталось 4-3=1 единица.
• d₁: принимаем оставшуюся 1 единицу. Чтобы минимизировать вес, ставим её в самый младший бит этой триады →001₂=1₈. Осталось 0 единиц.
• d₂: принимаем 0 единиц →000₂=0₈.
• d₃: уже определили, что там 1 единица в самом младшем бите триады →001₂=1₈.

Проверим количество единиц: 1(d₃)+0(d₂)+1(d₁)+3(d₀)=5. Все верно.

Получаем восьмеричное число: 1017₈.

Чтобы получить максимальное число, нам нужно «сдвинуть» все пять единиц в начало двоичной записи (к старшим разрядам).

Старшая триада d₃ может содержать максимум 3 единицы: 111₂=7₈. Это даст нам 3 единицы. У нас осталось 5-3=2 единицы.

Эти оставшиеся 2 единицы нужно разместить в следующей по значимости триаде d₂, чтобы максимизировать вклад этого разряда. В триаде d₂ мы можем поставить две единицы в старшие позиции этой триады: 110₂. Это равно 6₈. Осталось 0 единиц.

Разряды d₁ и d₀ будут нулями: 000₂=0₈.

Проверим количество единиц: 3(d₃)+2(d₂)+0(d₁)+0(d₀)=5. Все верно.

Получаем восьмеричное число: 7600₈.

Давайте убедимся, что нет ошибок в логике.

• Наименьшее: Мы искали минимум. Логика: старший разряд должен быть минимально возможным (1), а остальные единицы должны «упасть» в самые младшие разряды. Мы получили 1017₈. Можно ли сделать меньше? Если d₃=1, то минимальные значения для остальных при наличии 4 единиц: d₂=0,d₁=1,d₀=7→1017. Если попробовать d₃=1,d₂=0,d₁=0,d₀=... — не хватит единиц. Если d₃=2 (010₂), то число 2xxx больше 1xxx. Значит, 1017₈ действительно минимум.
• Наибольшее: Мы искали максимум. Логика: старшие разряды должны быть максимально заполнены единицами. d₃ берем максимум 7 (111₂). Остается 2 единицы. Их кладем в d₂ максимально слева: 110₂=6. Получаем 7600₈. Если бы мы положили единицы в d₁, например 7510₈ (111 101 001 000 — тут 5 единиц, но 7510<7600). Значит, 7600₈ действительно максимум.