ГДЗ по информатике, 10 класс, Босова, номер 11.12: Перевод чисел из одной системы в другую

Трёхзначное шестнадцатеричное число имеет вид XYZ₁₆, где каждая цифра X,Y,Z соответствует группе из четырёх битов (тетраде). Таким образом, полная двоичная запись состоит из 3×4=12 битов.

По условию задача требует, чтобы в этой записи содержалось ровно 7 нулей. Следовательно, количество единиц равно 12-7=5.

Важно помнить, что старшая цифра X не может быть равна нулю (иначе число будет двузначным или однозначным). Значит, первая тетрада X должна содержать хотя бы одну единицу.

Чтобы найти наименьшее число, нужно:

• Сделать старшую цифру X как можно меньше.
• Оставшиеся цифры Y и Z также минимизировать, учитывая общее количество единиц.

Минимально возможное значение для старшей цифры X — это 1. В двоичном виде это 0001₂. Здесь мы использовали одну единицу и три нуля.

У нас осталось распределить 5-1=4 единицы и 7-3=4 нуля в двух последних тетрадах (Y и Z), всего 8 битов.

Чтобы число было минимальным, нам нужно, чтобы следующая цифра Y была как можно меньше. Минимальное значение цифры при наличии свободных единиц — это когда единицы стоят на младших позициях внутри тетрады, но так как мы хотим минимизировать само число, нам важно, чтобы старшие разряды были нулями.

Давайте попробуем сделать Y минимальным. Если мы поместим все оставшиеся 4 единицы в последнюю тетраду Z, то Y будет состоять только из нулей: Y=0. Но тогда Z должна содержать 4 единицы: 1111₂=F₁₆. Число будет 10F₁₆. Проверим количество нулей: X=0001 (3 нуля), Y=0000 (4 нуля), Z=1111 (0 нулей). Итого 3+4+0=7 нулей. Это подходит.

Можно ли получить число меньше? Попробуем уменьшить Z. Для этого нужно перенести часть единиц из Z в Y. Но если мы добавим единицы в Y, то Y станет больше 0, а значит, число 1Y... будет больше, чем 10..., так как второй разряд весит больше. Например, если Y=1 (0001₂), то в Z останется 3 единицы (1110₂=E). Число 11E₁₆>10F₁₆. Если Y=2 (0010₂), то в Z останется 3 единицы (1110₂=E). Число 12E₁₆>10F₁₆. Таким образом, минимальная вторая цифра Y=0 дает наименьшее число при условии, что мы можем разместить остальные единицы в Z. Максимум единиц в одной тетраде — 4. У нас как раз осталось 4 единицы. Значит, вариант Y=0,Z=F является оптимальным.

Наименьшее число: 10F₁₆.

Чтобы найти наибольшее число, нужно:

• Сделать старшую цифру X как можно больше.
• Затем максимизировать Y, затем Z.

Максимальное значение для цифры X — это F (1111₂). Здесь мы используем 4 единицы и 0 нулей.

Осталось распределить 5-4=1 единицу и 7-0=7 нулей в двух последних тетрадах (Y и Z).

Чтобы число было максимальным, нам нужно поставить оставшуюся единицу в самый старший доступный разряд среди оставшихся 8 битов. Самый старший разряд из оставшихся — это первый бит тетрады Y (разряд 2⁷ в общем числе, если считать с 0). Если мы поставим единицу в старший бит Y, то Y будет иметь вид 1000₂=8₁₆. Тогда Z будет состоять из одних нулей: 0000₂=0₁₆. Проверим количество нулей: X=1111 (0 нулей), Y=1000 (3 нуля), Z=0000 (4 нуля). Итого 0+3+4=7 нулей. Количество единиц: 4+1+0=5. Всё верно.

Число: 880₁₆? Нет, X=F. Число F80₁₆.

Можно ли сделать больше? Попробуем увеличить X. Мы уже взяли максимум F. Попробуем увеличить Y. Чтобы Y стало больше 8, нужно добавить ещё единицы в Y. Но у нас осталась только одна единица после заполнения X. Если мы потратим её на Y, то Y станет минимум 8 (если единица в старшем бите) или меньше. Если мы не заполним X до конца, например X=E (1110₂, 3 единицы, 1 ноль), то останется 2 единицы и 6 нулей для Y и Z. Тогда можно сделать Y=C (1100₂, 2 единицы, 2 нуля) и Z=0. Число EC0₁₆. Сравним F80₁₆ и EC0₁₆. Старшая цифра F>E, поэтому F80₁₆ больше.

Рассмотрим другой вариант для X=F. Осталась 1 единица. Мы поставили её в старший бит Y, получив Y=8,Z=0. Число F80₁₆. А что если поставить эту единицу в Z? Тогда Y=0,Z=8. Число F08₁₆. Оно меньше, чем F80₁₆. А что если разбить единицу? Нельзя, она целая. Значит, максимальная конфигурация достигается при максимальном X, затем максимальном Y с учетом остатка единиц.

Итак, наибольшее число: F80₁₆.