ГДЗ по информатике, 10 класс, Босова, номер 13.8: Представление чисел в компьютере

Прямой код отрицательного числа формируется следующим образом:

• Старший разряд (знаковый) устанавливается в 1, так как число отрицательное.
• Остальные разряды заполняются двоичным представлением модуля числа.

Модуль числа равен 101. Переведем его в двоичную систему счисления:

Двоичная запись числа 101 занимает 7 бит: 1100101₂.

Так как всего используется 16 бит, добавим ведущие нули до длины 15 бит для мантиссы (без знакового разряда):

Теперь соберем полный прямой код числа -101 в 16 битах. Знаковый разряд 1, затем 15 бит значения:

Посчитаем количество единиц в этом представлении:

• Знаковый разряд: 1 единица.
• Разряды значения (1100101): 1+1+0+0+1+0+1=4 единицы.

Итого в прямом коде: 1+4=5 единиц.

Дополнительный код отрицательного числа можно получить двумя способами. Самый надежный алгоритм для ручного счета:

1. Записать модуль числа в двоичном виде в отведенных битах (включая знаковый разряд как часть числа).
2. Инвертировать все биты (получить обратный код).
3. Прибавить 1 к полученному числу.

Сначала запишем число 101 в 16-битном формате (как положительное):

Инвертируем все биты (обратный код):

Прибавим 1 к младшему разряду:

  111111110011010
+               1
-----------------
  111111110011011

Проверим сложение последних разрядов: 0+1=1; 1+0=1; 0+0=0; 1+0=1; 1+0=1; 0+0=0; 0+0=0; 1+0=1... и так далее. Более простой способ проверки: дополнительный код отрицательного числа -x равен 2¹⁶-x. Но считать единицы удобнее по битам.

Давайте аккуратно посчитаем единицы в результате 111111110011011₂.

Разобьем на группы по 4 бита для удобства (справа налево): 1111 (4 ед.) 1111 (4 ед.) 0011 (2 ед.) 0110 -> стоп, давайте выпишем строку целиком и посчитаем вручную, чтобы не ошибиться в группировке.

Число: 111111110011011

• Первые 8 бит слева: 11111111 — здесь 8 единиц.
• Следующие 4 бита: 0011 — здесь 2 единицы.
• Последние 4 бита: 0110? Нет, давайте пересмотрим инверсию и прибавление.

Исходное 101: 000000001100101 Инверсия: 111111110011010 Прибавление 1: 111111110011010+1=111111110011011

Посчитаем единицы в 111111110011011:

• Биты 15-8 (старшие): 11111111 -> 8 единиц.
• Биты 7-4: 0011 -> 2 единицы.
• Биты 3-0: 0110? Нет, последние 4 бита исходной инверсии были 1010. Прибавили 1 -> 1011. В 1011 три единицы.

Давайте проверим последние 4 бита внимательно. Исходные последние 4 бита числа 101 (...0101): 0101. Инверсия: 1010. Прибавление 1: 1010+1=1011. Количество единиц в 1011: 3.

Теперь средние 4 бита (разряды 4-7). Исходные разряды числа 101 (...1100101). Разряды 4-7 соответствуют весам 16,32,64,128. 101<128, значит старший из этой четверки (128) равен 0. 101>64, значит следующий (64) равен 1. 101-64=37. 37>32, значит следующий (32) равен 1. 37-32=5. 5<16, значит последний (16) равен 0. Итак, разряды 7-4 числа 101: 0110. Инверсия: 1001. Прибавления 1 сюда не было (оно произошло в младших разрядах и не вызвало переноса дальше, так как младшие 1010+1=1011 без переноса). Значит, в этих разрядах у нас 1001. Количество единиц: 2.

Старшие разряды (8-15). Число 101 требует только 7 бит. Значит, разряды 7-15 равны 0. Инверсия: все единицы. Переноса из младших разрядов нет. Значит, разряды 8-15 равны 11111111. Количество единиц: 8.

Знаковый разряд (бит 15) входит в эту группу "все единицы".

Суммируем единицы: Старшие 8 бит: 8 единиц. Средние 4 бита: 2 единицы. Младшие 4 бита: 3 единицы. Всего: 8+2+3=13 единиц.

Проверим ответ для дополнительного кода через свойство суммы прямого и дополнительного кодов или через формулу количества единиц.

Для отрицательного числа -A в N-битном дополнительном коде количество единиц равно N-1-k+1, где k — количество единиц в модуле A? Не совсем верно для общего случая из-за цепочек переносов.

Давайте просто пересчитаем биты числа 111111110011011.

Сумма: 8+2+3=13.

Ответ верен.