ГДЗ по информатике, 10 класс, Босова, номер 13.9: Представление чисел в компьютере

Сначала переведём числа в десятичную систему, чтобы оценить порядок величин и знак результата.

• Уменьшаемое: 111011101₂=1·2⁸+1·2⁷+1·2⁶+0·2⁵+1·2⁴+1·2³+1·2²+0·2¹+1·2⁰=256+128+64+16+8+4+1=477₁₀.
• Вычитаемое: 1101110110₂=1·2⁹+1·2⁸+0·2⁷+1·2⁶+1·2⁵+1·2⁴+0·2³+1·2²+1·2¹+0·2⁰=512+256+64+32+16+4+2=886₁₀.

Разность в десятичной системе: 477-886=-409.

Теперь выполним операцию в калькуляторе Windows в режиме «Программист» (выбрав разрядность, например, 16 бит или 32 бита, чтобы увидеть полное представление). Калькулятор выдаст результат в двоичном виде как дополнение до двух для числа -409.

Для проверки найдём двоичное представление числа 409:

Чтобы получить -409 в дополнительном коде (например, в 16-битном представлении):

1. Записываем 409 в 16 битах: 0000000110011001.
2. Инвертируем все биты: 1111111001100110.
3. Прибавляем 1: 1111111001100110+1=1111111001100111.

Если убрать ведущие нули (или единицы, если рассматривать беззнаковый остаток от деления на степень двойки), то младшие значащие биты будут соответствовать результату вычитания «в столбик» с заимствованием из несуществующего старшего разряда.

Прямое вычитание в двоичной системе (как это делает процессор, игнорируя знак на уровне флагов переноса/заёма для беззнаковых чисел):

Ответ калькулятора (в зависимости от выбранной разрядности, например, 16 бит) будет выглядеть как длинная последовательность единиц слева и специфическая комбинация справа. Для краткости запишем результат в минимально возможном виде, сохраняя смысл операции:

Результат: 1111111001100111₂ (для 16-битного представления числа -409).

Переведём числа в десятичную систему.

• Уменьшаемое: 1101101001₂=1·2⁹+1·2⁸+0·2⁷+1·2⁶+1·2⁵+0·2⁴+1·2³+0·2²+0·2¹+1·2⁰=512+256+64+32+8+1=873₁₀.
• Вычитаемое: 11000100100₂=1·2¹⁰+1·2⁹+0·2⁸+0·2⁷+0·2⁶+1·2⁵+0·2⁴+0·2³+1·2²+0·2¹+0·2⁰=1024+512+32+4=1572₁₀.

Разность в десятичной системе: 873-1572=-699.

Найдём двоичное представление числа 699:

Получим дополнительный код для -699 в 16-битном представлении:

1. Запись 699: 0000001010111011.
2. Инверсия: 1111110101000100.
3. Прибавление 1: 1111110101000100+1=1111110101000101.

Ответ калькулятора (16 бит): 1111110101000101₂ .

Полученные результаты объясняются тем, как компьютер представляет отрицательные числа в двоичной системе счисления.

1. Фиксированная разрядность. Компьютер работает с ячейками памяти фиксированного размера (например, 8, 16, 32 или 64 бита). При вычитании большего числа из меньшего математически получается отрицательный результат.
2. Дополнительный код. В большинстве современных систем (включая калькулятор Windows в режиме «Программист») отрицательные числа хранятся в формате дополнения до двух . Старший бит (знаковый) становится равным 1, а остальные биты представляют собой инвертированное значение модуля числа плюс один.
3. Визуализация в калькуляторе. Когда вы видите длинную цепочку единиц в начале двоичного числа (например, 1111...), это означает, что число является отрицательным. Если бы калькулятор был настроен на беззнаковую арифметику, он мог бы выдать ошибку или результат по модулю (2ⁿ-|x|), но в программистском режиме он корректно отображает битовое представление знакового числа.

Таким образом, результаты 1111111001100111₂ и 1111110101000101₂ являются двоичными записями чисел -409 и -699 соответственно в 16-битном дополнительном коде.