ГДЗ по информатике, 10 класс, Босова, номер 18.9: Алгебра логики

Рассмотрим первое высказывание: ((A→B)→C).

Нам известно, что всё это выражение должно быть ложным (0).

Вспомним свойства логической импликации (следования) →. Импликация ложна только в одном случае: когда посылка истинна (1), а следствие ложно (0). То есть для выражения X→Y=0 обязательно должно выполняться X=1 и Y=0.

Применим это к нашему случаю:

• Следствие — это C. Значит, чтобы вся импликация была ложной, C должен быть ложным : C=0
• Посылка — это (A→B). Значит, эта часть должна быть истинной : (A→B)=1

Теперь разберём условие (A→B)=1. Импликация истинна во всех случаях, кроме одного (когда посылка 1, а следствие 0). Здесь посылка A, следствие B. Выражение A→B будет ложным только если A=1 (то есть A=0) и B=0. Нам же нужно, чтобы оно было истинным. Это означает, что комбинация A=0,B=0 запрещена. Однако, посмотрев на структуру задачи, мы видим, что переменные A и B связаны только внутри этой скобки, и у нас нет дополнительных ограничений на них извне, кроме того факта, что сама скобка равна 1. Давайте проверим варианты: Если A=1, то A=0. Тогда 0→B всегда равно 1 (независимо от B). Если A=0, то A=1. Тогда 1→B равно 1 только если B=1. Обычно в таких задачах подразумевается единственное решение или набор решений. Давайте внимательно перечитаем условие. Нет, здесь есть нюанс. Если бы было требование найти все варианты, мы бы их выписали. Но часто в школьных задачах такого типа подразумевается проверка конкретных связок. Посмотрим на второе выражение, возможно, оно даст ограничения? Нет, они независимы. Однако, давайте перепроверим стандартную логику таких задач. Часто бывает опечатка в условии учебника или специфическая трактовка. Но строго по математике: Условие 1: C=0 и (A→B)=1. Это допускает три варианта пар (A,B): (1,0),(1,1),(0,1). Подождите, давайте посмотрим на пункт 2. Он может дать подсказку о стиле ответа или независимость пунктов. Пункты разделены точкой с запятой, значит, они решаются независимо друг от друга для одних и тех же переменных? Или это два разных примера? Формулировка: "Какие из высказываний... должны быть истинны... чтобы были ложны следующие высказывания? 1)...; 2)..." Это означает, что для каждого пункта нужно подобрать свои значения A,B,C. Вернемся к пункту 1. Есть ли способ сузить выбор? В алгебре логики, если не указано иное, обычно ищут конкретные значения. Возможно, я упустил деталь в записи? Запись ((A→B)→C). Да, все верно. Но давайте посмотрим на типичные ошибки учеников. Многие путают → и . Если предположить, что задача имеет единственное решение, возможно, там скрыта связь? Нет. Давайте запишем ответ как множество допустимых значений или выберем наиболее "естественный" путь рассуждения, который часто ожидается в ГДЗ: поиск противоречий. На самом деле, давайте еще раз внимательно посмотрим на оператор →. A→B эквивалентно A→B? Нет. A→BrightleftharpoonsA→B? Проверим таблицей:nA=0, B=0: A=1,1→0=0. A→B=0→0=1. Не эквивалентны.nA=0, B=1: A=1,1→1=1. A→B=0→1=1. Совпало.nA=1, B=0: A=0,0→0=1. A→B=1→0=0. Не совпало.nA=1, B=1: A=0,0→1=1. A→B=1→1=1. Совпало. Итак, для пункта 1 ответ неоднозначен без дополнительных условий. Однако, в контексте школьной программы иногда подразумевается, что нужно найти любые подходящие значения, либо задача составлена так, что остальные переменные фиксированы вторым уравнением? Нет, пункты разделены. Давайте рассмотрим вариант, что в условии могла быть опечатка и имелось в виду конъюнкция или дизъюнкция? Нет, будем решать строго по тексту. Строго говоря, для пункта 1: C=0, а пара (A,B) может быть любой, кроме (0,0). Но давайте посмотрим на пункт 2. Может быть, там тоже несколько ответов?

Рассмотрим второе высказывание: A→B→C.

Здесь важно понять порядок действий. Оператор импликации → является правоассоциативным? Или левоассоциативным? В математической логике и информатике обычно используется соглашение, что цепочка X→Y→Z трактуется как X→(Y→Z). Однако, в некоторых школьных учебниках могут подразумевать (X→Y)→Z. Давайте проверим оба варианта, но чаще всего без скобок слева направо или справа налево зависит от конкретного автора. В стандартной нотации Фреге/Русселла и большинстве современных языков программирования логика правоассоциативна: A→(B→C). Но в советской школе часто учили читать слева направо, если нет скобок, хотя это математически неверно для импликации. Давайте предположим стандартное для ЕГЭ/ОГЭ и многих учебников чтение: операции выполняются по приоритету, а одинаковые — слева направо. Приоритет → ниже, чем , но выше, чем →? Нет, они одинаковы. Слева направо: (A→B)→C. Если так, то это то же самое выражение, что и в пункте 1! Это странно. Обычно пункты различаются. Давайте посмотрим на запись внимательно: A→B→C. Если читать справа налево (правоассоциативно): A→(B→C). Попробуем вариант правоассоциативности (A→(B→C)), так как это более распространенная математическая конвенция для импликации. Чтобы выражение A→(B→C) было ложным (0), необходимо: 1. Посылка A должна быть истинной (1). 2. Следствие (B→C) должно быть ложным (0). Из условия 1: A=1→A=0. Из условия 2: (B→C)=0. Импликация ложна только тогда, когда посылка B=1, а следствие C=0. Таким образом, получаем единственный набор значений: A=0, B=1, C=0 Проверим этот набор для исходного выражения A→B→C (как A→(B→C)): 0→(1→0)=1→0=0. Верно. А теперь вернемся к пункту 1 с учетом этого стиля. Там были скобки: ((A→B)→C). Это явно левоассоциативная структура или просто группировка. Мы выяснили, что для пункта 1: C=0 и (A→B)=1. Если мы хотим получить "красивый" ответ, аналогичный пункту 2, возможно, в пункте 1 тоже есть скрытое ограничение? Нет. Но давайте посмотрим на ключи к подобным задачам. Часто в задаче 18.9 учебника Босовой или Полякова подразумевается, что нужно найти все возможные случаи или один конкретный, если он единственный. Для пункта 1 решений много. Для пункта 2 решение одно. Запишем ответ для пункта 1 как: C=0, а A и B такие, что не выполняется случай A=0,B=0. То есть возможны пары (1,0),(1,1),(0,1). Однако, в формате краткого ответа обычно требуют конкретные цифры. Есть ли вероятность, что в пункте 1 опечатка и должно быть A→B→C? Или что-то еще? Будем исходить из того, что нужно записать общее условие. Но подождите! Давайте перечитаем пункт 1: ((A→B)→C). Может быть, там стоит знак A→B? Нет, в тексте B. Давайте попробуем другой подход к пункту 1. Что если там тоже правоассоциативность, несмотря на скобки? Нет, скобки первичны. Есть еще одна возможность. В некоторых старых учебниках символ → мог означать эквивалентность? Нет, → — это следование. Давайте зафиксируем результат: Пункт 1: Чтобы выражение было ложным, необходимо C=0 и (A→B)=1. Условие (A→B)=1 нарушается только при A=0,B=0. Следовательно, любые значения A,B, кроме A=0,B=0, подходят. Например, можно взять A=1,B=1,C=0. Пункт 2: Чтобы выражение A→B→C было ложным, при стандартном правоассоциативном прочтении (A→(B→C)), необходимо A=0,B=1,C=0. Если же читать пункт 2 слева направо ((A→B)→C), то это идентично пункту 1. Так как пункты разные, скорее всего, во втором пункте подразумевается правоассоциативность или отсутствие внешних скобок меняет смысл. Математически корректно считать импликацию правоассоциативной. Таким образом: 1) C=0, а A и B не могут быть одновременно нулями (A≠0 или B≠0). 2) A=0,B=1,C=0. Для оформления ответа в школьном стиле, где часто требуется указать конкретные значения, если их несколько, указывают общий вид или пример. Но для пункта 2 ответ однозначен. Давайте оформим решение четко.