ГДЗ по информатике, 10 класс, Поляков, номер 18.1: Упрощение логических выражений
Информатика (в 2 частях); углубленное обучение — Поляков К.Ю., Еремин Е.А.
Екатерина Новикова, методист по информатике Шпаргача обновлено 12 сентября 2026
Условие
Записать несколько различных логических выражений, которые тождественно равны
а) 0
б) 1
в) A+B
г) A·B
д) A→B.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
В этом задании нам нужно проявить творческий подход к логическим операциям. Мы будем использовать основные законы алгебры логики (булевой алгебры), чтобы составить выражения, которые всегда дают одинаковый результат с исходными.
Шаг 1. Выражения, тождественно равные 0 (Ложь)
Число 0 в логике означает «Ложь». Нам нужны такие комбинации переменных и операций, которые никогда не могут быть истинными.
- Конъюнкция переменной с её отрицанием: A·A. Если A=1, то A=0, произведение 1·0=0. Если A=0, то A=1, произведение 0·1=0. Результат всегда 0.
- Дизъюнкция двух ложных констант: 0+0. Очевидно, что это равно 0.
- Импликация истины в ложь: 1→0. По таблице истинности импликации, она ложна только тогда, когда посылка истинна, а следствие ложно. Значит, это выражение всегда равно 0.
Шаг 2. Выражения, тождественно равные 1 (Истина)
Число 1 означает «Истина». Ищем выражения, которые всегда истинны (тавтологии).
- Дизъюнкция переменной с её отрицанием: A+A. Закон исключённого третьего: либо верно A, либо верно не-A. Сумма всегда 1.
- Конъюнкция двух истинных констант: 1·1. Произведение единиц равно единице.
- Эквивалентность переменной самой себе: A↔A. Любая величина эквивалентна самой себе, поэтому результат всегда 1.
Шаг 3. Выражения, тождественно равные A+B (Дизъюнкция)
Нам нужно упростить или преобразовать сложные конструкции так, чтобы они работали как обычное «ИЛИ».
- Закон поглощения (обратный ход): (A+B)·(A+B). Раскроем скобки: A·A+A·B+B·A+B·B. Так как A·A=A, B·B=0, получаем A+AB+AB. Вынесем A: A(1+B+B)=A·1=A? Нет, тут ошибка в быстрой проверке. Давайте проще.
Лучший пример: A+B+A·B. По закону поглощения X+X·Y=X, здесь A+A·B=A, остаётся A+B. Или просто добавить лишнее слагаемое: A+B+0. - Через импликации: ¬A→B. Импликация ¬A→B эквивалентна ¬(¬A)+B=A+B.
- Через конъюнкции и отрицаний (закон де Моргана): ¬(¬A·¬B). Отрицание дизъюнкции равно конъюнкции отрицаний, значит обратная операция вернет дизъюнкцию.
Шаг 4. Выражения, тождественно равные A·B (Конъюнкция)
Ищем аналоги «И».
- Закон поглощения: A·B·(A+B). Если оба 1, то сумма 1, произведение 1. Если хотя бы одно 0, то произведение 0. Работает как A·B.
- Через дизъюнкцию и отрицания: ¬(¬A+¬B). Это прямое применение закона де Моргана для перехода от И к ИЛИ.
- Через эквивалентность: (A↔B)·A. Если A=1, то эквивалентность зависит от B (1↔B=B), итого 1·B=B. Но нам нужно A·B. Если A=0, то 0·(0↔B)=0. Если A=1, то 1·(1↔B)=B. То есть результат равен B при A=1 и 0 при A=0. Это ровно A·B.
Шаг 5. Выражения, тождественно равные A→B (Импликация)
Классическое определение импликации через другие операции.
- Основная формула: ¬A+B. Это самое известное тождество. Проверим: если A=1,B=0, то ¬1+0=0+0=0. Если A=0, то ¬0+B=1+B=1. Совпадает с таблицей импликации.
- Через конъюнкцию: ¬(A·¬B). Импликация ложна только когда A истинно, а B ложно. То есть ложно выражение A·¬B. Значит, сама импликация — это отрицание этого случая.
- Через эквивалентность: (A↔B)+¬A. Если A=0, то ¬A=1, вся сумма 1. Если A=1, то ¬A=0, остается 1↔B, что равно B. Итого: при A=0 результат 1, при A=1 результат B. Это таблица импликации.
а) A·A; 1→0
б) A+A; A↔A
в) ¬A→B; ¬(¬A·¬B)
г) ¬(¬A+¬B); (A↔B)·A
д) ¬A+B; ¬(A·¬B)
Для каждого пункта приведено несколько вариантов ответов, основанных на фундаментальных законах булевой алгебры (де Моргана, поглощения, определения импликации). Важно помнить, что 'тождественно равны' означает совпадение значений во всех возможных комбинациях входных данных.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 18.1 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Информатика (в 2 частях); углубленное обучение», Поляков К.Ю., Еремин Е.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 18.1?
Краткий ответ: а) A · A; 1 0 б) A + A; A A в) A B; ( A · B) г) ( A + B); (A B) · A д) A + B; (A · B).
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Информатика (в 2 частях); углубленное обучение», Поляков К.Ю., Еремин Е.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 18. Упрощение логических выражений.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.