ГДЗ по информатике, 10 класс, Поляков, номер 28.7: Операции с вещественными числами

В данной задаче требуется проанализировать явление, известное в информатике как потеря младших разрядов или эффект поглощения при сложении чисел с плавающей запятой. Это фундаментальное ограничение компьютерной арифметики, связанное с конечной длиной мантиссы.Шаг 1. Анализ структуры числа с плавающей запятойКомпьютер хранит вещественные числа не бесконечно точно, а в формате с фиксированным количеством бит для мантиссы (например, 23 бита для типа float или 52 бита для double). Число представляется как m·b^e, где m — мантисса, b — основание системы счисления (обычно 2), e — порядок.При выполнении операции сложения A+B процессор должен выровнять порядки обоих операндов так, чтобы они стали одинаковыми. Для этого мантисса числа с меньшим порядком сдвигается вправо на количество шагов, равное разнице порядков nablae=e_A-e_B (предполагаем |A|>|B|).Шаг 2. Механизм возникновения ситуации A+B=AЕсли разница порядков nablae настолько велика, что при сдвиге мантиссы меньшего числа B все его значащие цифры выходят за пределы отведенного количества разрядов мантиссы, то эти цифры теряются (обнуляются). В этом случае после нормализации результат будет равен исходному числу A.Формально это происходит, когда модуль меньшего числа меньше половины единицы младшего разряда большего числа. То есть, если |B|012345678910Числовая прямаяШаг 3. Условия появления и примерСитуацияA + B = A при B \neq 0возникает при соблюдении двух условий:Разница в порядках (экспонентах) между числамиA и B превышает длину мантиссы машины.ЧислоB является слишком малым по сравнению с числом A (отношение\frac{\lvert B\rvert }{\lvert A\rvert }меньше машинного эпсилон\nabla_{mach}).Пример: пусть мы работаем с 4-битной мантиссой (для простоты). ПустьA = 1.000_2 \cdot 2^{5} = 32. Пусть B = 1.000_2 \cdot 2^{0} = 1. При сложении нужно выровнять порядки до2^{5}. Мантисса B должна быть сдвинута на 5 позиций вправо:0.00001_2. Но у нас всего 4 бита мантиссы. Значимая единица уходит за границу хранения и обнуляется. Результат:32 + 1 = 32$ в этой модели.