ГДЗ по информатике, 10 класс, Поляков, номер 28.8: Операции с вещественными числами

Переполнение (overflow) возникает, когда результат арифметической операции превышает максимально возможное число, которое может быть представлено в данной разрядной сетке.

Рассмотрим операцию вычитания a-b. Результатом является число c=a-b.

• Если мы вычитаем из большого положительного числа большое отрицательное число (например, 10³⁰⁸-(-10³⁰⁸)), то по модулю результат будет равен сумме модулей: 2·10³⁰⁸. Если это значение больше максимальной константы машины (MAX_REAL), то произойдет переполнение .
• Аналогично, если вычесть из большого отрицательного числа большое положительное число (-10³⁰⁸-10³⁰⁸), результат также выйдет за границы диапазона.

Таким образом, переполнение при вычитании возможно, так как операция вычитания эквивалентна сложению с противоположным знаком, а сумма двух больших по модулю чисел может превысить допустимый предел.

Антипереполнение (underflow) возникает, когда абсолютная величина результата становится меньше минимального нормализованного числа, которое можно точно представить в формате с плавающей запятой. В этом случае результат округляется до нуля или представляется денормализованным числом с потерей точности.

Рассмотрим случай, когда вычитаются два очень близких друг к другу числа:

Пусть a и b — положительные числа, близкие к нулю, но такие, что их разность получается еще ближе к нулю, чем минимальный шаг мантиссы для данного порядка.

Пример:

• Пусть минимальное нормализованное число равно 10^-308.
• Возьмем a=10^-308 и b=10^-308+ε, где ε — очень малая величина.
• Или проще: пусть a и b имеют порядок 10^-300, но отличаются на величину порядка 10^-310. При вычитании старшие разряды сокращаются, и результат имеет порядок 10^-310, что ниже порога антипереполнения.

Это явление часто называют «катастрофическим сокращением» (catastrophic cancellation). Когда мы вычитаем почти равные числа, значащие цифры совпадают и обнуляются, оставляя только младшие разряды, которые могут выйти за пределы точности представления. Если полученный результат меньше минимального представимого числа, происходит антипереполнение .

На основе проведенного анализа:

1. Переполнение возможно , если результат вычитания выходит за верхнюю границу диапазона представимых чисел (по модулю).
2. Антипереполнение возможно , если результат вычитания двух близких по значению чисел оказывается слишком малым по модулю для точного представления в нормализованном виде.

Следовательно, обе ситуации теоретически и практически возможны при выполнении операции вычитания вещественных чисел.