ГДЗ по информатике, 10 класс, Поляков, номер 8.11: Системы счисления
Информатика (в 2 частях); углубленное обучение — Поляков К.Ю., Еремин Е.А.
Юлия Громова, преподаватель информатики Шпаргача обновлено 12 сентября 2026
Условие
Почему не все конечные десятичные дроби можно представить в виде конечных дробей в других системах счисления?
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Чтобы ответить на этот вопрос, нужно разобраться в том, как устроена запись дробных чисел в позиционных системах счисления. Конечная дробь в любой системе счисления с основанием q — это сумма конечного числа членов вида ai/qi.
Шаг 1. Анализ структуры десятичной дроби
Любая конечная десятичная дробь имеет вид:
A=N/10kгде N — целое число, а k — количество знаков после запятой. Знаменатель здесь всегда является степенью числа 10. Разложим основание 10 на простые множители: 10=2·5. Следовательно, знаменатель десятичной дроби содержит только простые множители 2 и 5.
Шаг 2. Условие представимости в другой системе
Рассмотрим систему счисления с основанием q. Чтобы дробь N/10k стала конечной в этой системе, её можно было представить в виде:
M/qmЭто возможно тогда и только тогда, когда знаменатель 10k (или его часть после сокращения) делится на некоторую степень qm, или наоборот, qm кратно 10k. Более строго: дробь будет конечной в системе с основанием q, если все простые множители числа q входят в состав простых множителей числа 10 (то есть равны 2 или 5).
Если же основание q содержит простой множитель, отличный от 2 и 5 (например, 3, 7, 11 и т.д.), то мы не можем подобрать такую степень qm, которая была бы кратна 10k, и наоборот, 10k не делится на qm без остатка при бесконечном продолжении процесса деления.
Шаг 3. Примеры и проверка
Рассмотрим конкретные случаи:
- Система с основанием 2 (q=2): Число 2 состоит из простого множителя 2. Десятичная дробь 0,5=1/2 в двоичной системе будет 0,12 (конечная). Дробь 0,25=1/4=1/22 будет 0,012 (конечная). В целом, любые дроби со знаменателем 2n или 5n могут быть представлены, но смешанные требуют проверки. Однако, например, 0,110=1/10=1/2·5. В двоичной системе это периодическая дробь, так как 5 не является степенью двойки. Но вопрос шире: почему не все ? Потому что есть системы, где даже простые дроби становятся бесконечными.
- Система с основанием 3 (q=3): Основание 3 — простое число, отличное от 2 и 5. Возьмём простую десятичную дробь 0,5=1/2. Попробуем перевести её в троичную систему. Мы ищем такие a1,a2,…, что 1/2=a1/3+a2/9+…. Это равносильно тому, что 1/2 должна быть представима как M/3k. Но уравнение 1/2=M/3k не имеет решения в целых числах, так как 3k не делится на 2. Следовательно, дробь 0,5 в троичной системе будет бесконечной периодической.
- Система с основанием 6 (q=6): 6=2·3. Здесь есть множитель 3. Дробь 0,5=1/2. Представим ли она как M/6k? 1/2=3/6=0,36. Да, эта конкретная дробь конечна. А вот 0,2=1/5. Нужно ли 1/5=M/6k? Нет, так как 6k не делится на 5. Значит, 0,2 в шестеричной системе будет бесконечной.
Таким образом, ключевая причина — различие в наборах простых множителей основания системы счисления и знаменателя десятичной дроби.
Конечная десятичная дробь имеет знаменатель, состоящий только из простых множителей 2 и 5. Для того чтобы она была конечной в другой системе счисления с основанием q, все простые множители q должны входить в набор {2; 5}. Если основание q содержит другие простые множители (например, 3, 7), то многие десятичные дроби станут в этой системе бесконечными периодическими.
В решении использован строгий математический подход через разложение на простые множители. Важно подчеркнуть, что наличие множителя 2 или 5 в основании не гарантирует конечность всех десятичных дробей (как видно на примере системы с основанием 6 и дроби 1/5), но отсутствие других простых множителей (кроме 2 и 5) в основании q является необходимым условием для того, чтобы любая дробь вида N/10^k могла быть потенциально конечной (при условии правильного выбора k). На самом деле, более точное утверждение: дробь конечна в системе q, если после сокращения знаменатель дроби делится только на простые множители числа q. Поскольку знаменатель десятичной дроби делится только на 2 и 5, то для гарантированной конечности <em>всех</em> таких дробей основание q должно иметь только множители 2 и 5. Если у q есть другие множители, то найдутся десятичные дроби (со знаменателем, содержащим эти новые множители в степени, большей, чем в q, или просто несовместимые), которые будут бесконечными.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 8.11 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Информатика (в 2 частях); углубленное обучение», Поляков К.Ю., Еремин Е.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 8.11?
Краткий ответ: Конечная десятичная дробь имеет знаменатель, состоящий только из простых множителей 2 и 5. Для того чтобы она была конечной в другой системе счисления с основанием q, все простые множители q должны входить в набор 2; 5. Если основание q содержит другие простые множители (например, 3, 7), то многие десятичные дроби станут в этой системе бесконечными периодическими.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Информатика (в 2 частях); углубленное обучение», Поляков К.Ю., Еремин Е.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 8. Системы счисления.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.