ГДЗ по информатике, 10 класс, Поляков, номер 9.1: Двоичная система счисления

Дробная часть числа переводится методом последовательного умножения на основание системы счисления (в данном случае — на 2). На каждом шаге целая часть результата становится очередным битом двоичной записи, а дробная часть переносится на следующий шаг.

Процесс завершается успешно и даёт точное представление, если на каком-то шаге дробная часть станет равна нулю. Если же процесс не заканчивается никогда (дробь «циклическая»), то в конечной разрядной сетке число будет представлено приближённо.

Рассмотрим простую десятичную дробь вида m/n, где m и n — натуральные числа, и дробь несократима. При переводе в двоичную систему мы фактически делим числитель на знаменатель, умножая остаток на 2. Чтобы процесс завершился, знаменатель n должен быть таким, чтобы после нескольких умножений на 2 он сокращался до единицы.

Это возможно только тогда, когда все простые множители знаменателя n равны 2. То есть знаменатель должен иметь вид 2^k, где k — целое неотрицательное число.

Например:

• 1/2=0,5₁₀→0,1₂ (точное представление).
• 1/4=0,25₁₀→0,01₂ (точное представление).
• 3/8=0,375₁₀→0,011₂ (точное представление).

Если в знаменателе несократимой дроби есть простой множитель, отличный от 2 (например, 3,5,7 и т.д.), то двоичная запись будет бесконечной периодической. В компьютере она будет усечена или округлена, что приведёт к погрешности.

Пример: 1/10=0,1₁₀. Знаменатель 10=2×5. Так как есть множитель 5, перевод в двоичную систему будет бесконечным: 0,0001100110011...₂. Компьютер не может хранить бесконечную последовательность, поэтому это число сохраняется приблизительно.

Точно в памяти компьютера могут быть представлены те дробные числа, которые в виде несократимой обыкновенной дроби имеют знаменатель, являющийся степенью двойки (2^k).

Иными словами, это числа вида m/2^k, где m — целое число, а k — натуральное число или ноль.