10 класс Системы счисления § 8. Системы счисления

ГДЗ по информатике, 10 класс, Поляков, номер 8.8: Системы счисления

Информатика (в 2 частях); углубленное обучение — Поляков К.Ю., Еремин Е.А.

Татьяна Белова, методист по информатике Шпаргача обновлено 12 сентября 2026

← 8.7 8.9 →

Условие

Как по записи числа в пятеричной системе сразу определить, делится ли оно на 5, на 25 или на 125?

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

В этой задаче мы разберёмся с признаками делимости в непозиционных системах счисления на примере пятеричной системы. Ключевая идея заключается в том, что основание системы счисления (в нашем случае 5) играет роль «разрядного веса». Если число делится на основание или его степени, это отражается в младших разрядах записи.

Шаг 1. Анализ делимости на 5

Рассмотрим произвольное натуральное число N, записанное в пятеричной системе счисления как последовательность цифр d_kd_k-1…d₁d₀. Его значение можно представить в виде суммы:

N=d_k·5^k+d_k-1·5^k-1+…+d₁·5¹+d₀·5⁰

Все слагаемые, начиная с d₁·5¹ и до старших разрядов, содержат множитель 5. Следовательно, они делятся на 5 без остатка. Остаток от деления всего числа N на 5 определяется только последним слагаемым — d₀·5⁰=d₀.

Таким образом, чтобы число делилось на 5, необходимо и достаточно, чтобы его последняя цифра (d₀) была равна 0. В пятеричной системе допустимые цифры: 0,1,2,3,4. Значит, признак делимости на 5: число оканчивается на 0 .

Шаг 2. Анализ делимости на 25

Число 25 равно 5². Вернёмся к разложению числа N:

N=d_k·5^k+…+d₂·5²+d₁·5¹+d₀·5⁰

Слагаемые d_k·5^k,…,d₂·5² содержат множитель 5²=25, поэтому они делятся на 25. Остаток от деления N на 25 зависит от двух последних слагаемых:

R=d₁·5+d₀

Чтобы всё число N делилось на 25, остаток R должен быть равен 0 или кратен 25. Поскольку d₁ и d₀ — цифры от 0 до 4, максимальное значение выражения d₁·5+d₀ равно 4·5+4=24. Единственное значение, кратное 25 в этом диапазоне (включая 0), — это само 0.

Значит, должно выполняться условие d₁·5+d₀=0. Так как цифры неотрицательны, это возможно только если d₁=0 и d₀=0.

Признак делимости на 25: число оканчивается на два нуля (…00₅) .

Шаг 3. Анализ делимости на 125

Число 125 равно 5³. Аналогично предыдущему шагу, все слагаемые вида d_i·5ⁱ при i≥3 делятся на 125. Остаток определяется суммой трёх последних членов:

R=d₂·5²+d₁·5¹+d₀·5⁰=25d₂+5d₁+d₀

Максимальное возможное значение этого остатка при цифрах 0..4 составляет 25·4+5·4+4=100+20+4=124. Это меньше 125. Следовательно, для того чтобы число делилось на 125, остаток R должен быть строго равен 0.

Это возможно только тогда, когда каждая из цифр d_2,d_1,d₀ равна нулю.

Признак делимости на 125: число оканчивается на три нуля (…000₅) .

Шаг 4. Обобщение и проверка

Мы видим закономерность: в позиционной системе счисления с основанием q число делится на qⁿ тогда и только тогда, когда оно оканчивается на n нулей.

Для 5¹=5: нужен один ноль на конце.
Для 5²=25: нужны два нуля на конце.
Для 5³=125: нужны три нуля на конце.

Пример проверки:

Возьмём число 12300₅. Оно оканчивается на два нуля, значит, делится на 25. Переведём в десятичную систему: 1·625+2·125+3·25+0+0=625+250+75=950. Число 950 действительно делится на 25 (950/25=38). Но оно не делится на 125 (950/125=7.6), так как оканчивается только на два нуля, а не на три.

Ответ

На 5: число оканчивается на 0.

На 25: число оканчивается на 00.

На 125: число оканчивается на 000.

Задача проверяет понимание принципа работы позиционных систем счисления. Решение строится на разложении числа по степеням основания. Важно подчеркнуть, что цифры в пятеричной системе ограничены диапазоном 0-4, что делает невозможным получение остатка, кратного основанию, но не равного нулю, при анализе младших разрядов.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 8.8 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Информатика (в 2 частях); углубленное обучение», Поляков К.Ю., Еремин Е.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 8.8?

Краткий ответ: На 5: число оканчивается на 0. На 25: число оканчивается на 00. На 125: число оканчивается на 000.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Информатика (в 2 частях); углубленное обучение», Поляков К.Ю., Еремин Е.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 8. Системы счисления.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.