ГДЗ по математике, 5 класс, Виленкин, номер 2.218: Уравнение

План решения:

В задачах на поиск закономерности в таблицах обычно числа разбиты на пары или группы. Попробуем сгруппировать данные по два числа и найти связь между ними (сумму, разность или произведение). Если это не работает, посмотрим на последовательность через одно число.

Решение пункта а)

Даны числа: 15,50,10,13,?,12. Попробуем разбить их на пары: (15,50), (10,13), (?,12). Связь неочевидна. Попробуем другой подход: посмотрим на чередующиеся ряды. Первый ряд (нечётные позиции): 15,10,? Второй ряд (чётные позиции): 50,13,12 Здесь тоже нет явной простой арифметической прогрессии. Давайте вернёмся к парам, но изменим способ группировки или посмотрим на сумму всех известных чисел? Нет, это слишком сложно для 5 класса. Попробуем посмотреть на разницу между соседними числами: 50-15=35 10-50=-40 13-10=3 ... Это хаос. Часто в таких задачах таблицы имеют структуру "вход-выход" или две колонки. Представим таблицу как две строки или две колонки. Если это одна строка из 6 чисел, то часто закономерность скрыта в парах (a_1,a₂),(a_3,a₄),(a_5,a₆). Проверим суммы пар: 15+50=65 10+13=23 Разница большая. Проверим произведения? 15·50=750 10·13=130 Нет. А что если закономерность связывает первое и последнее, второе и предпоследнее? 15 и 12 -> разница 3. 50 и ? 10 и 13 -> разница 3. Если симметрия относительно центра, то пары: (15,12), (50,?), (10,13). Суммы пар: 15+12=27 10+13=23 Не равны. Давайте внимательно посмотрим на условие учебника Математика 5 класс Виленкин или Мерзляк. Часто там таблицы состоят из двух строк. Предположим, верхняя строка: 15,10,? Нижняя строка: 50,13,12 Это маловероятно без чертежа. Попробуем другую гипотезу для пункта а): 15+50=65 10+13=23 ?+12=... Может быть, это уравнения? Тема "Уравнение". Но здесь просто набор чисел. Попробуем найти закономерность в разностях внутри пар, если переставить местами? Нет. Давайте посмотрим на пункт б), может, он прояснит стиль. 27,20,13,16,?,24 Разбиваем на пары: (27,20),(13,16),(?,24). 27-20=7 16-13=3 Нет. Разбиваем на два ряда: Ряд 1: 27,13,? Ряд 2: 20,16,24 В ряду 2: 20→16 (-4), 16→24 (+8). Неарифметическая. Попробуем суммы пар в пункте б): 27+20=47 13+16=29 ?+24=... Попробуем разности пар в пункте б): 27-20=7 16-13=3 А что если закономерность: сумма первой и второй пары равна сумме третьей и четвертой? Или есть связь между парами? Давайте попробуем стандартный приём для таких задач: сумма крайних элементов равна сумме внутренних или аналогично. Для а): 15,50,10,13,x,12. 15+12=27 50+x=? 10+13=23 Если бы было 27=27, то 50+x должно быть связано с чем-то. Попробуем так: (15+10)/2=12.5? Нет. Вернемся к теме "Уравнение". Возможно, нужно составить уравнение, где ответом является пропущенное число, исходя из того, что сумма всех чисел делится на что-то? Или среднее арифметическое? Попробуем гипотезу: Произведение первых двух равно произведению следующих двух? а) 15·50=750. 10·13=130. Нет. б) 27·20=540. 13·16=208. Нет. Попробуем гипотезу: Разность первых двух равна разности следующих двух? а) 50-15=35. 13-10=3. Нет. б) 27-20=7. 16-13=3. Нет. Попробуем гипотезу: Сумма цифр? а) 1+5=6,5+0=5,1+0=1,1+3=4,?,1+2=3. Ряд: 6,5,1,4,?,3. Хаос. Давайте посмотрим на задачу 2.218 в популярных сборниках. Часто в таких таблицах числа стоят в столбик или в две строки. Если это две строки: Строка 1: 15,10,? Строка 2: 50,13,12 Или: Строка 1: 15,50,10 Строка 2: 13,?,12 Попробуем вариант: Вертикальная связь . Если таблица выглядит так:

Тогда связи горизонтальные или вертикальные. Горизонталь 1: 15,50,10. 15+10=25, 50/2=25. То есть среднее число — удвоенная сумма крайних? Или сумма крайних равна половине среднего? 15+10=25, 50=2·25. Работает! Проверим вторую строку: 13,?,12. По той же логике: сумма крайних 13+12=25. Среднее число должно быть 2·25=50. Таким образом, ?=50. Проверим эту логику на пункте б). Если структура та же: (Обратите внимание: в условии б) числа идут подряд: 27,20,13,16,?,24. Если мы делим их на две строки по три числа, то первая строка 27,20,13, вторая 16,?,24.) Проверяем первую строку б): Крайние: 27 и 13. Сумма: 27+13=40. Среднее: 20. Связь: 40/2=20. То есть среднее число равно полусумме крайних (среднему арифметическому). Применим ко второй строке б): Крайние: 16 и 24. Сумма: 16+24=40. Среднее число (?) должно быть равно полусумме: 40/2=20. Таким образом, ?=20. Эта логика (среднее арифметическое крайних чисел в строке) очень типична для 5 класса и темы "Уравнение" (можно записать x=(a+b)/2 или 2x=a+b).

Вычисление:

Пункт а) Разобьем числа на две строки по три элемента: 1-я строка: 15,50,10 2-я строка: 13,x,12 Закономерность в 1-й строке: среднее число равно сумме крайних, деленной на 2 (или удвоенному среднему равна сумма крайних). Проверка: 15+10=25. 25·2=50. Верно. Применяем к 2-й строке: Сумма крайних: 13+12=25. Пропущенное число x: x=25·2=50. Ответ а): 50.

Пункт б) Разобьем числа на две строки по три элемента: 1-я строка: 27,20,13 2-я строка: 16,y,24 Закономерность в 1-й строке: Сумма крайних: 27+13=40. Среднее число: 20. Проверка связи: 40/2=20. Верно. Применяем к 2-й строке: Сумма крайних: 16+24=40. Пропущенное число y: y=40/2=20. Ответ б): 20.

Проверка:

Подставим найденные числа обратно в таблицы и убедимся, что закономерность соблюдается во всех строках. а) Строка 13,50,12. 13+12=25, 25·2=50. Совпадает. б) Строка 16,20,24. 16+24=40, 40/2=20. Совпадает. Решение корректно.