ГДЗ по математике, 5 класс, Виленкин, номер 3.233: Упрощение выражений

План решения:

Чтобы сумма и произведение семи натуральных чисел были равны, нужно использовать свойства числа 1. Умножение на 1 не меняет произведение, но добавляет единицу к сумме. Если мы возьмём несколько единиц и одно число, отличное от 1, то произведение будет равно этому числу, а сумма — количеству единиц плюс это число. Нам нужно подобрать количество единиц так, чтобы сумма совпала с произведением.

Вычисление:

Пусть у нас есть шесть единиц и одно число x. Тогда набор чисел: 1,1,1,1,1,1,x.

Произведение этих чисел: P=1·1·1·1·1·1·x=x

Сумма этих чисел: S=1+1+1+1+1+1+x=6+x

По условию задачи сумма равна произведению: S=P

Подставим выражения: 6+x=x

Это уравнение не имеет решений в натуральных числах (так как 6=0 невозможно). Значит, вариант с шестью единицами не подходит. Попробуем уменьшить количество единиц.

Пусть у нас пять единиц и два других числа a и b. Набор: 1,1,1,1,1,a,b.

Произведение: P=1⁵·a·b=ab

Сумма: S=5+a+b

Приравниваем: ab=5+a+b

Преобразуем уравнение, перенеся все члены влево: ab-a-b=5

Добавим к обеим частям 1, чтобы разложить на множители: ab-a-b+1=5+1

(a-1)(b-1)=6

Так как a и b — натуральные числа, то (a-1) и (b-1) — целые неотрицательные числа. Разложим число 6 на множители:

• Вариант 1: a-1=1 и b-1=6. Тогда a=2, b=7. Числа: 1,1,1,1,1,2,7.
• Вариант 2: a-1=2 и b-1=3. Тогда a=3, b=4. Числа: 1,1,1,1,1,3,4.
• Вариант 3: a-1=3 и b-1=2. Это тот же набор, что и во втором варианте.
• Вариант 4: a-1=6 и b-1=1. Это тот же набор, что и в первом варианте.

Проверка:

Для набора 1,1,1,1,1,2,7:

Сумма: 1+1+1+1+1+2+7=13.

Произведение: 1·1·1·1·1·2·7=14.

13≠14. Ошибка в рассуждениях выше? Проверим ещё раз.

Уравнение было: (a-1)(b-1)=6. Если a=2,b=7, то (2-1)(7-1)=1·6=6. Верно.

Но давайте проверим исходное равенство ab=5+a+b для a=2,b=7:

Левая часть: 2·7=14.

Правая часть: 5+2+7=14.

Равенство верно! Почему при проверке суммы я получил 13? Ах, да, сумма пяти единиц это 5, а не 1+1+1+1+1=5. 5+2+7=14. Всё верно.

Для набора 1,1,1,1,1,3,4:

Сумма: 5+3+4=12.

Произведение: 1·1·1·1·1·3·4=12.

Равенство верно.

Можно ли найти другие решения? Например, если взять четыре единицы и три числа a,b,c.

abc=4+a+b+c. Это сложнее, но попробуем простой случай с большим количеством единиц.

Если взять семь единиц: S=7,P=1. Не подходит.

Если взять шесть единиц и одну двойку: S=8,P=2. Не подходит.

Таким образом, основные решения найдены через анализ случая с двумя переменными числами.