ГДЗ по математике, 5 класс, Виленкин, номер 3.382: Свойства и признаки делимости

План решения:

Для того чтобы число делилось на 3, сумма его цифр должна делиться на 3. Мы будем находить сумму известных цифр каждого числа и подбирать неизвестную цифру (или цифры) так, чтобы общая сумма была кратна трём.

Вычисление по пунктам:

• а) 572?
• Сумма известных цифр: 5+7+2=14.
• Нам нужно найти такую цифру x, что 14+x делится на 3.
• Ближайшие числа, делящиеся на 3 после 14, это 15, 18, 21.
• Если сумма равна 15, то x=15-14=1.
• Если сумма равна 18, то x=18-14=4.
• Если сумма равна 21, то x=21-14=7.
• Следующее значение было бы 10, но это не цифра.
• Ответ для а): можно записать цифры 1, 4, 7 .
• б) 37?
• Сумма известных цифр: 3+7=10.
• Ищем цифру y, такую что 10+y делится на 3.
• Ближайшие кратные трём числа больше или равные 10: 12, 15, 18.
• Если сумма равна 12, то y=12-10=2.
• Если сумма равна 15, то y=15-10=5.
• Если сумма равна 18, то y=18-10=8.
• Ответ для б): можно записать цифры 2, 5, 8 .
• в) ?32?
• Здесь две неизвестные цифры. Обозначим первую как a, вторую как b.
• Число имеет вид a32b. Сумма известных цифр: 3+2=5.
• Условие делимости: a+5+b делится на 3, то есть a+b+5 кратно 3.
• Это означает, что сумма двух неизвестных цифр (a+b) должна давать остаток 1 при делении на 3 (так как 5 дает остаток 2, а нам нужен остаток 0 в сумме: 2+1=3≡0).
• Возможные значения суммы S=a+b: 1,4,7,10,13,16,19.
• Так как a — первая цифра числа, она не может быть 0 (a∈{1..9}), а b может быть любой (b∈{0..9}).
• Приведем примеры пар (a;b):
• Если a+b=1: (1;0).
• Если a+b=4: (1;3),(2;2),(3;1),(4;0).
• Если a+b=7: (1;6),...,(7;0).
• Если a+b=10: (1;9),...,(9;1).
• Если a+b=13: (4;9),...,(9;4).
• Если a+b=16: (7;9),(8;8),(9;7).
• Если a+b=19: (9;10) — невозможно, так как 10 не цифра. Максимальная сумма 9+9=18. Значит, вариант с суммой 19 отпадает. Проверим максимальную возможную сумму: 9+9=18. Ближайшее подходящее число меньше 19 — это 16? Нет, давайте пересчитаем остатки.
• Нужно, чтобы a+b+5 делилось на 3.
• Пусть a=1. Тогда 1+b+5=b+6. Чтобы делилось на 3, b должно делиться на 3. b∈{0,3,6,9}. Числа: 1320,1323,1326,1329.
• Пусть a=2. Тогда 2+b+5=b+7. b+7 делится на 3 ⇒b дает остаток 2 при делении на 3. b∈{2,5,8}. Числа: 2322,2325,2328.
• Пусть a=3. Тогда 3+b+5=b+8. b дает остаток 1. b∈{1,4,7}. Числа: 3321,3324,3327.
• И так далее для всех a от 1 до 9.
• В задании обычно просят указать какие-то цифры или описать множество. Поскольку вариантов много, перечислим все возможные пары цифр (a;b), где a — первая, b — последняя:
• a=1→b∈{0,3,6,9}
• a=2→b∈{2,5,8}
• a=3→b∈{1,4,7}
• a=4→b∈{0,3,6,9}
• a=5→b∈{2,5,8}
• a=6→b∈{1,4,7}
• a=7→b∈{0,3,6,9}
• a=8→b∈{2,5,8}
• a=9→b∈{1,4,7}

Проверка:

Возьмем пример из пункта а): число 5721. Сумма цифр 5+7+2+1=15, делится на 3. Верно.
Возьмем пример из пункта б): число 372. Сумма цифр 3+7+2=12, делится на 3. Верно.
Возьмем пример из пункта в): пусть a=1,b=0, число 1320. Сумма 1+3+2+0=6, делится на 3. Пусть a=2,b=2, число 2322. Сумма 2+3+2+2=9, делится на 3. Все проверки пройдены успешно.