ГДЗ по математике, 5 класс, Виленкин, номер 3.392: Свойства и признаки делимости

План решения:

• Исходное число: 73264871. Нам нужно вычеркнуть ровно три цифры, оставив 5 цифр в исходном порядке.
• Для каждого пункта будем использовать признаки делимости:
• а) на 9: сумма цифр должна делиться на 9;
• б) на 6: число должно быть чётным и делиться на 3 (сумма цифр кратна 3);
• в) на 3: сумма цифр должна делиться на 3.

Вычисления:

а) Кратность 9

Сначала найдём сумму всех цифр исходного числа: 7+3+2+6+4+8+7+1=38.

Чтобы полученное число делилось на 9, сумма его оставшихся цифр должна быть кратна 9. Значит, сумма трёх вычеркнутых цифр должна давать остаток от деления на 9 такой же, как и 38. Так как 38=4·9+2, то сумма вычеркнутых цифр должна быть равна 2,11,20,29 или 38.

Попробуем найти комбинацию из трёх цифр с суммой 11 (это наиболее вероятный вариант для небольших цифр). Например, возьмём цифры 7,3,1. Их сумма 7+3+1=11. Вычеркнем их из числа 73264871? Нет, порядок важен. Давайте выберем конкретные позиции.

Цифры: d₁=7,d₂=3,d₃=2,d₄=6,d₅=4,d₆=8,d₇=7,d₈=1.

Попробуем вычеркнуть d₁(7),d₂(3),d₈(1). Сумма вычеркнутых: 7+3+1=11. Оставшиеся цифры: 2,6,4,8,7. Число: 26487. Проверим сумму: 2+6+4+8+7=27. 27 делится на 9. Значит, число 26487 кратно 9.

Ответ для а): можно получить число 26487 .

б) Кратность 6

Число должно быть чётным (последняя цифра 0,2,4,6,8) и сумма цифр должна делиться на 3.

Возьмём предыдущий пример 26487. Оно нечётное. Нужно изменить набор так, чтобы последняя оставшаяся цифра была чётной.

Давайте попробуем оставить последней цифрой 8 (d₆) или 6 (d₄) или 4 (d₅) или 2 (d₃).

Попробуем вычеркнуть d₁(7),d₂(3),d₇(7). Оставшиеся: 2,6,4,8,1. Число 26481. Нечётное. Попробуем вычеркнуть d₁(7),d₂(3),d₈(1). Оставшиеся: 2,6,4,8,7. Число 26487. Нечётное. Попробуем вычеркнуть d₁(7),d₇(7),d₈(1). Оставшиеся: 3,2,6,4,8. Число 32648. Последняя цифра 8 — чётная. Сумма цифр: 3+2+6+4+8=23. 23 не делится на 3. Попробуем вычеркнуть d₁(7),d₂(3),d₆(8). Оставшиеся: 2,6,4,7,1. Число 26471. Нечётное. Попробуем вычеркнуть d₁(7),d₂(3),d₅(4). Оставшиеся: 2,6,8,7,1. Число 26871. Нечётное. Попробуем вычеркнуть d₁(7),d₂(3),d₄(6). Оставшиеся: 2,4,8,7,1. Число 24871. Нечётное. Попробуем вычеркнуть d₁(7),d₂(3),d₃(2). Оставшиеся: 6,4,8,7,1. Число 64871. Нечётное. Нужно, чтобы последняя цифра была чётной. В исходном числе чётные цифры: 2,6,4,8. Они стоят на позициях 3, 4, 5, 6. Чтобы одна из них стала последней, все цифры после неё должны быть вычеркнуты или она сама должна быть последней оставшейся. Если оставляем 8 (d₆) последней, то d₇(7) и d₈(1) должны быть вычеркнуты. Это уже две цифры. Нам нужно вычеркнуть ещё одну из первых пяти (7,3,2,6,4). Оставшиеся цифры будут состоять из четырёх выбранных из первых пяти плюс 8. Сумма всех цифр 38. Вычеркнули 7,1 и одну цифру x. Сумма оставшихся: 38-(7+1+x)=30-x. Для делимости на 3, 30-x должно делиться на 3. Так как 30 делится на 3, то x должно делиться на 3. Из первых пяти цифр (7,3,2,6,4) делятся на 3 только 3 и 6. Вариант 1: вычеркнуть x=3 (d₂). Тогда вычеркнуты d₂(3),d₇(7),d₈(1). Оставшиеся: 7,2,6,4,8. Число: 72648. Проверка: чётное. Сумма: 7+2+6+4+8=27. Делится на 3. Значит, делится на 6. Вариант 2: вычеркнуть x=6 (d₄). Тогда вычеркнуты d₄(6),d₇(7),d₈(1). Оставшиеся: 7,3,2,4,8. Число: 73248. Проверка: чётное. Сумма: 7+3+2+4+8=24. Делится на 3. Значит, делится на 6. Ответ для б): можно получить число 72648 (или 73248).

в) Кратность 3

Достаточно, чтобы сумма цифр делилась на 3. Мы уже нашли такие числа в пунктах а) и б). Любое число, кратное 9 или 6, автоматически кратно 3.

Например, из пункта а) мы получили 26487. Сумма цифр 27, делится на 3. Из пункта б) мы получили 72648. Сумма цифр 27, делится на 3. Можно привести и другой пример, если бы требовалось именно «только» на 3, но условие говорит «кратное 3», что включает кратные 6 и 9. Попробуем найти простое решение. Вычеркнем d₁(7),d₂(3),d₃(2). Сумма вычеркнутых 12. Оставшаяся сумма 38-12=26 (не делится на 3). Вычеркнем d₁(7),d₂(3),d₄(6). Сумма вычеркнутых 16. Оставшаяся сумма 38-16=22 (не делится на 3). Вычеркнем d₁(7),d₂(3),d₅(4). Сумма вычеркнутых 14. Оставшаяся сумма 38-14=24 (делится на 3!). Оставшиеся цифры: 2,6,8,7,1. Число: 26871. Сумма: 2+6+8+7+1=24. Делится на 3.

Ответ для в): можно получить число 26871 (или любое из предыдущих).

Проверка:

• а) 26487:9=2943. Верно.
• б) 72648:6=12108. Верно.
• в) 26871:3=8957. Верно.