ГДЗ по математике, 5 класс, Виленкин, номер 3.405: Свойства и признаки делимости

План решения:

Обозначим длину прямоугольника через a см. Ширина известна и равна 60 см. Площадь прямоугольника вычисляется по формуле S=a·b, где b=60. Таким образом, площадь равна S=60a.

Нам нужно проверить, делится ли число 60a на указанные в пунктах а)–д) числа при любом натуральном значении длины a. Для этого разложим множитель 60 на простые множители или воспользуемся признаками делимости произведения.

Вычисления по пунктам:

• а) Кратность 2. Число 60 оканчивается на цифру 0, значит, оно само делится на 2. Произведение 60·a всегда будет делиться на 2, независимо от того, какое число a мы возьмём. Утверждение верно.
• б) Кратность 5. Число 60 оканчивается на цифру 0, значит, оно делится на 5. Следовательно, произведение 60·a всегда кратно 5. Утверждение верно.
• в) Кратность 6. Чтобы число делилось на 6, оно должно одновременно делиться на 2 и на 3. Число 60 делится на 2 (так как чётное) и на 3 (сумма цифр 6+0=6 кратна 3). Значит, 60 делится на 6. Тогда и произведение 60·a всегда делится на 6. Утверждение верно.
• г) Кратность 9. Проверим делимость самого множителя 60 на 9. Сумма цифр числа 60 равна 6, что не делится на 9. Значит, 60 не делится на 9. Если длина a также не будет кратна 9 (например, a=1), то и вся площадь S=60 не разделится на 9. Утверждение неверно для произвольного a.
• д) Кратность 12. Число 12 можно представить как 3·4. Проверим делимость 60 на эти множители. 60 делится на 3 (6+0=6). 60 делится на 4 (60:4=15). Так как 60 делится и на 3, и на 4, то оно делится на их произведение 12. Следовательно, произведение 60·a всегда кратно 12. Утверждение верно.

Проверка:

Возьмём конкретный пример: пусть длина a=7 см. Тогда площадь S=60·7=420 см². а) 420:2=210 — верно. б) 420:5=84 — верно. в) 420:6=70 — верно. г) 420:9=46 с остатком 6 — неверно. д) 420:12=35 — верно. Результаты совпадают с общими рассуждениями.