ГДЗ по математике, 5 класс, Виленкин, номер 3.406: Свойства и признаки делимости

В этой задаче нам нужно проверить два утверждения о делимости чисел. Мы будем использовать метод подбора примеров: если находим хотя бы один случай, когда условие выполняется, а вывод — нет (или наоборот), то утверждение считается неверным. Если же логика работает для всех случаев, утверждение верно.

а) Проверка утверждения: «Если каждое слагаемое кратно числу n, то и сумма кратна n».

• Пусть у нас есть два числа a и b, которые оба кратны числу n. Это значит, что a=n·k₁ и b=n·k₂, где k₁ и k₂ — целые числа.
• Рассмотрим их сумму: S=a+b=n·k₁+n·k₂.
• Вынесем общий множитель n за скобки: S=n(k₁+k₂).
• Так как k₁+k₂ тоже является целым числом, то произведение n(k₁+k₂) делится на n без остатка.

Пример: Пусть n=5. Числа 10 и 15 кратны 5. Их сумма 10+15=25 также кратна 5. Утверждение верно .

б) Проверка утверждения: «Если уменьшаемое и вычитаемое не кратны числу n, то разность кратна n».

• Чтобы опровергнуть это утверждение, достаточно привести контрпример — найти такие числа, которые не делятся на n, но их разность тоже не делится на n.
• Пусть n=3. Возьмём уменьшаемое 7 и вычитаемое 4.
• Проверяем исходные условия: 7 не делится на 3 (остаток 1), 4 не делится на 3 (остаток 1). Оба числа не кратны 3.
• Найдём разность: 7-4=3.
• В этом конкретном примере разность (3) кратна 3. Но давайте возьмём другой пример, чтобы увидеть общую закономерность или опровергнуть обязательность этого свойства.
• Пусть n=3. Возьмём уменьшаемое 8 и вычитаемое 4.
• 8 не делится на 3 (остаток 2), 4 не делится на 3 (остаток 1).
• Разность: 8-4=4.
• Число 4 не делится на 3.

Поскольку мы нашли случай, когда уменьшаемое и вычитаемое не кратны n, но и разность не кратна n, данное утверждение неверно . Разность может быть кратной, а может и не быть, в зависимости от остатков при делении.