Задание 3.413: Свойства и признаки делимости

План решения: Для каждого пункта рассмотрим свойства чётных и нечётных чисел. Напомним, что чётное число делится на 2 без остатка, а нечётное — нет. Проверим каждый случай отдельно.

а) Сумма двух чётных чисел. Пусть два чётных числа — 2m и 2n, где m и n — целые числа. Тогда их сумма: 2m + 2n = 2(m + n). Поскольку (m + n) — целое число, сумма делится на 2, значит, сумма чётная.

б) Разность двух нечётных чисел. Пусть два нечётных числа — (2a + 1) и (2b + 1), где a и b — целые числа. Тогда их разность: (2a + 1) - (2b + 1) = 2a + 1 - 2b - 1 = 2(a - b). Поскольку (a - b) — целое число, разность делится на 2, значит, разность чётная.

в) Произведение двух чётных чисел. Пусть два чётных числа — 2p и 2q. Тогда произведение: 2p * 2q = 4pq = 2 * (2pq). Так как (2pq) — целое число, произведение делится на 2, значит, произведение чётное.

г) Произведение двух нечётных чисел. Пусть два нечётных числа — (2x + 1) и (2y + 1). Тогда произведение: (2x + 1)(2y + 1) = 4xy + 2x + 2y + 1 = 2(2xy + x + y) + 1. Это число на 1 больше чётного, значит, произведение нечётное.

Проверка: Все рассуждения основаны на определениях чётных и нечётных чисел и свойствах арифметики. Ответы логичны и соответствуют свойствам чисел.