ГДЗ по математике, 5 класс, Виленкин, номер 4.107: Единицы измерения площадей

План решения:

• Переведём все размеры в одинаковые единицы измерения (сантиметры или метры).
• Вычислим площадь одной плитки и общую площадь пола.
• Определим, сколько плиток нужно для покрытия всей площади пола, сравнив с имеющимся количеством.
• Для пункта б) рассчитаем количество целых плиток, которые реально уложатся на полу без подрезки (или с учётом того, что вопрос обычно подразумевает полную потребность в материале для покрытия площади, но в контексте "целых плиток" чаще всего имеется в виду теоретическое количество для площади, либо физическая укладка. В задачах такого типа для 5 класса обычно подразумевается расчёт по площади: сколько плиток нужно , чтобы закрыть площадь. Однако формулировка "сколько целых плиток будет использовано" может означать, что мы берем только целые штуки из запаса, если их хватает, или считаем точное количество по площади. Давайте посчитаем точное количество по площади, так как это стандартный подход для проверки "хватит ли". Если же речь о физической укладке рядами, то нужно проверить делимость сторон. Проверим оба варианта, но основной упор сделаем на площадь, так как это тема "Единицы измерения площадей". Но стоп, фраза "Сколько целых плиток будет использовано" часто означает, что мы не можем использовать куски. Посмотрим на геометрию укладки.

Решение:

а) Хватит ли плиток для ремонта?

Переведём размеры в сантиметры для удобства:

Размер плитки: 15 см ×30 см.

Размер ванной: 3,5 м =350 см, 2 м =200 см.

Площадь одной плитки:

Площадь пола ванной комнаты:

Найдём количество плиток, необходимых для покрытия всей площади пола:

Так как дробное число плиток невозможно купить или использовать целиком для покрытия площади без остатка (если не резать), нам нужно округлить до большего целого числа, чтобы покрыть весь пол: 156 плиток.

У нас есть 100 плиток.

Сравним: 100<156.

Ответ а): Нет, плиток не хватит.

б) Сколько целых плиток будет использовано при укладке?

Здесь важно уточнить смысл вопроса. Обычно в таких задачах под "использованными целыми плитками" понимают максимальное количество плиток, которое можно выложить из имеющегося запаса, не разрезая их, чтобы они лежали рядами. Или же это вопрос о том, сколько плиток из тех 100, что есть, реально лягут на пол целиком, если мы начнем укладывать? Поскольку плиток меньше, чем нужно, мы используем все 100 штук, если они поместятся на полу. Проверим, помещаются ли 100 плиток на пол.

Попробуем разместить плитки рядами. Вариант 1: сторона 15 см вдоль стороны 350 см, сторона 30 см вдоль стороны 200 см.

Количество плиток вдоль длины (350 см): 350:15=23 плитки (остаток 5 см).

Количество рядов вдоль ширины (200 см): 200:30=6 рядов (остаток 20 см).

Всего плиток в этом варианте: 23·6=138 плиток.

Вариант 2: сторона 30 см вдоль стороны 350 см, сторона 15 см вдоль стороны 200 см.

Количество плиток вдоль длины (350 см): 350:30=11 плиток (остаток 20 см).

Количество рядов вдоль ширины (200 см): 200:15=13 рядов (остаток 5 см).

Всего плиток в этом варианте: 11·13=143 плитки.

Максимальное количество целых плиток, которые можно уложить на пол без разрезания, равно 143. У нас есть только 100 плиток. Так как 100<143, то все имеющиеся 100 плиток можно разместить на полу целиком (например, уложить их в несколько рядов, не заполняя всё пространство).

Если же вопрос интерпретируется как "сколько плиток нужно взять из запаса, чтобы начать ремонт", то ответ тот же — мы используем все доступные целые плитки, пока они не кончатся или пока не закроем какую-то часть площади. Но чаще в учебниках 5 класса вопрос "сколько целых плиток будет использовано" при недостатке материала означает просто количество имеющихся плиток, если они физически помещаются на площади. Они помещаются.

Однако, иногда этот пункт может означать: "Какова площадь, покрытая целыми плитками из имеющегося запаса?" Нет, спрашивается количество плиток.

Давайте рассмотрим другую трактовку: возможно, автор задачи ожидает ответа, основанного на делении площади пола на площадь плитки с отбрасыванием дроби? 70000/450=155 целых плиток по площади. Но у нас только 100. Значит, мы используем 100.

Итак, так как у нас есть 100 плиток, и они все могут быть уложены на пол целиком (так как максимальная вместимость пола целыми плитками больше 100), то будет использовано все 100 плиток.

Ответ б): 100 плиток.

в) Сколько плиток надо докупить, чтобы покрыть весь пол?

Мы уже определили в пункте а), что для полного покрытия пола требуется 156 плиток (округление 155,55... вверх, так как даже неполная плитка требует целой для подрезки, или если считать строго по площади без учета подрезки, то математически нужно 155,55, но плиток продают целыми, значит 156).

Проверим вариант с учетом подрезки. При укладке рядами (лучший вариант 2) мы использовали 143 целые плитки, оставив незакрытые полосы шириной 20 см и 5 см. Эти полосы тоже нужно закрыть. Для этого потребуются дополнительные плитки, которые будут резаться. Общее количество плиток, необходимое для покрытия всей площади 70000 см², составляет минимум 156 штук (так как 155·450=69750<70000).

Имеющееся количество: 100 плиток.

Необходимо докупить:

Ответ в): 56 плиток.