ГДЗ по математике, 5 класс, Виленкин, номер 46: Вопросы и задачи на повторение

План решения:

В условии сказано, что длины отрезков MN и PK равны. Это означает, что их числовые значения одинаковы: MN=PK. В геометрии длина отрезка не зависит от порядка букв в его названии (например, длина отрезка AB равна длине отрезка BA). Поэтому мы можем записать равенство длин как NM=KP, MP+PN=MN и т.д., опираясь на то, что точки лежат на одной прямой в порядке M,N,P,K или K,P,N,M (судя по стандартным задачам такого типа, где сравниваются части целого). Однако, даже без точного чертежа, ключевым фактом является равенство полных отрезков MN=PK. Давайте проанализируем каждый пункт, используя свойство транзитивности равенства и сложения/вычитания величин.

Вычисления и сравнения:

• а) Сравните отрезки NM и KP. Длина отрезка NM равна длине отрезка MN (NM=MN). Длина отрезка KP равна длине отрезка PK (KP=PK). По условию задачи MN=PK. Следовательно, NM=KP. Отрезки равны.
• б) Сравните отрезки MP и PN. Здесь нужно быть внимательным к расположению точек. Обычно в таких задачах с рисунком подразумевается, что отрезки пересекаются или имеют общую часть. Если предположить стандартное расположение точек на прямой в порядке M,N,P,K, то: MN=MP-NP? Нет, если порядок M-N-P-K, то MN — это часть, а PK — другая часть. Но условие говорит MN=PK. Это не дает информации о соотношении MP и PN напрямую, если только не известно расположение. Однако , чаще всего в таких задачах на повторение для 5 класса подразумевается, что отрезки MN и PK пересекаются или имеют общую середину, либо точки расположены так, что N лежит между M и P, а P между N и K? Давайте посмотрим на типичную конфигурацию для такой формулировки «Длины отрезков MN и PK равны». Часто это значит, что они наложены друг на друга или имеют общий центр. Но без рисунка мы должны опираться на логическую симметрию. Если предположить, что точки расположены в порядке M,N,P,K, то MN и PK — это внешние части. Тогда MP=MN+NP, а PN=NP. Сравнивать MP и PN бессмысленно без данных о NP. Но есть другой вариант: точки расположены в порядке M,P,N,K? Или N и P совпадают? Рассмотрим самый вероятный случай для учебника 5 класса: отрезки MN и PK имеют общую часть NP. То есть порядок точек: M,N,P,K неверен для равенства MN=PK как частей одного целого, если они не равны по определению. Давайте пересмотрим. Если MN=PK, то: в) MP и NK. Заметим, что MP=MN+NP (если порядок M-N-P), а NK=NP+PK (если порядок N-P-K). Так как MN=PK, то MN+NP=PK+NP, следовательно MP=NK. Это классическое свойство: если к равным отрезкам прибавить один и тот же отрезок, суммы будут равны. Это подсказывает нам структуру расположения точек: M,N,P,K идут последовательно на прямой. Тогда: 1. MN=PK (по условию). 2. Общий отрезок между ними — нет, они соприкасаются? Нет, если MP=MN+NP, то точка N лежит между M и P. А если NK=NP+PK, то точка P лежит между N и K. Значит, порядок точек на прямой: M,N,P,K. Проверим этот порядок: - MN — первый отрезок. - PK — последний отрезок. - Они равны по условию. - Между ними находится отрезок NP. Теперь решаем пункты с этим порядком M-N-P-K: а) NM и KP: NM=MN. KP=PK. Так как MN=PK, то NM=KP. Отрезки равны. б) MP и PN: MP=MN+NP. PN=NP. Так как MN>0 (это отрезок), то MN+NP>NP. Следовательно, MP>PN. MP больше PN. в) MP и NK: MP=MN+NP. NK=NP+PK. Так как MN=PK, то правые части равны: MN+NP=PK+NP. Следовательно, MP=NK. Отрезки равны. г) MK и NP: MK=MN+NP+PK. NP=NP. Так как MN>0 и PK>0, то MK>NP. MK больше NP.

Проверка:

Логика построена на аксиоме сложения отрезков. Если точки M,N,P,K лежат на одной прямой в указанном порядке, то равенство крайних отрезков MN=PK влечет равенство сумм MN+NP=PK+NP, то есть MP=NK. Это фундаментальное свойство, которое проверяется в задачах такого типа. Сравнение MP и PN очевидно, так как MP содержит PN плюс положительную длину MN. Сравнение MK и NP также очевидно, так как MK — это весь путь, а NP — только средняя часть.