ГДЗ по математике, 5 класс, Виленкин, номер 5.259: Обыкновенные дроби

План решения.

Нам нужно представить каждое из четырёх чисел (4, 1, 1/2 и 1/4) в виде суммы долей, знаменатели которых являются степенями двойки: 2 (половины), 4 (четверти), 8 (восьмые) и 16 (шестнадцатые). Это означает, что мы будем раскладывать числа на слагаемые вида k/2ⁿ. Поскольку целые числа можно представить как сумму единиц, а единица — как сумма половин или четвертей, задача сводится к подбору подходящих дробей.

Вычисление для каждого числа.

1. Число 4.

   Самый простой способ разложить целое число на такие доли — использовать шестнадцатые, так как 1=16/16. Тогда:

   4=64/16=32/16+16/16+8/16+4/16+2/16+2/16

   Однако условие просит представить в виде суммы их половин, четвертей и т.д., что часто интерпретируется как двоичное разложение или просто набор различных долей. Давайте попробуем более естественный вариант, используя разные степени:

   4=2+1+1/2+1/4+1/8+1/16+…

   Но это бесконечная сумма. В школьной практике обычно требуется конечная сумма. Попробуем собрать 4 из конкретных долей:

   4=8/2=4/2+4/2 (только половины) 4=16/4=8/4+8/4 (только четверти) 4=32/8=16/8+16/8 (только восьмые) 4=64/16=32/16+32/16 (только шестнадцатые)

   Если же требуется смешать все виды долей, то наиболее стандартным ответом является представление через двоичную систему счисления, где каждая доля используется один раз, но для числа 4 это не работает напрямую без остатка. Давайте посмотрим на другие числа, чтобы понять логику.

2. Число 1.

   Единицу легко представить суммой половин:

   1=1/2+1/2

   Или суммой четвертей:

   1=1/4+1/4+1/4+1/4

   Или смешанно:

   1=1/2+1/4+1/8+1/16+1/16
3. Число 1/2.

   Это уже одна половина. Чтобы представить его суммой меньших долей:

   1/2=1/4+1/4 1/2=1/8+1/8+1/8+1/8 1/2=1/16+1/16+1/16+1/16+1/16+1/16+1/16+1/16
4. Число 1/4.

   Аналогично:

   1/4=1/8+1/8 1/4=1/16+1/16

Проверка и итоговый формат.

В учебниках по математике за 5 класс под фразой "представьте в виде суммы их половин, четвертей..." часто подразумевается использование единичных дробей (где числитель равен 1) разных знаменателей, если это возможно, или просто корректное алгебраическое равенство. Однако для целых чисел вроде 4 невозможно составить сумму только из единичных дробей 1/2,1/4,1/8,1/16 без повторений или использования нескольких одинаковых слагаемых.

Наиболее вероятный ожидаемый ответ в контексте темы "Смешанные числа" и работы с долями — это демонстрация того, как крупные доли заменяются мелкими. Приведем по одному варианту для каждого числа, используя все четыре типа долей там, где это целесообразно, или показывая эквивалентность.

Для числа 4 :

Давайте дадим компактные ответы, показывающие замену одной доли двумя следующего порядка:

• 4 : Можно представить как 64/16, то есть сумму 64 шестнадцатых. Или как 32/8 (сумма 32 восьмых).
• 1 : 1/2+1/2.
• 1/2 : 1/4+1/4.
• 1/4 : 1/8+1/8.

Если требуется использовать все перечисленные виды долей одновременно для одного числа, то это задача на двоичное разложение. Но для 4 это 100₂, что соответствует 4·1. Для 1 это 0.1₂? Нет, 1=0.111...₂.

Скорее всего, задание предполагает самостоятельный выбор способа представления. Вот наиболее грамотные варианты:

1) Число 4: 4=1/2+1/2+1/2+1/2+1/2+1/2+1/2+1/2 или 4=1/4+1/4+…+1/4 (16 раз)

2) Число 1: 1=1/2+1/4+1/8+1/16+1/16

3) Число 1/2: 1/2=1/4+1/8+1/16+1/16

4) Число 1/4: 1/4=1/8+1/16+1/16

Такой подход показывает умение заменять одну долю суммой двух долей следующего порядка.