ГДЗ по математике, 6 класс, Виленкин, номер 1.146: Вычисления и построения

План решения.

В задаче дан равнобедренный треугольник (так как два угла равны). Известно, что один из углов равен 70^°. Нам нужно найти все три угла. Поскольку мы не знаем точно, какой именно угол равен 70^° (вершинный или при основании), необходимо рассмотреть два возможных случая и предложить два способа рассуждений: через сумму углов и через свойства внешних углов или алгебраическое уравнение.

Способ 1. Через сумму углов треугольника.

Сумма всех углов в любом треугольнике равна 180^°. Обозначим равные углы за x, а третий угол — за y.

• Случай А: Угол 70^° является третьим (отличным от двух равных). Тогда сумма двух равных углов равна 180^°-70^°=110^°. Так как они равны, каждый из них равен 110^°:2=55^°. Углы треугольника: 55^°,55^°,70^°.
• Случай Б: Один из равных углов равен 70^°. Тогда второй равный угол тоже равен 70^°. Найдем третий угол: 180^°-(70^°+70^°)=180^°-140^°=40^°. Углы треугольника: 70^°,70^°,40^°.

Способ 2. Алгебраический метод (составление уравнений).

Пусть величина каждого из двух равных углов равна α, а третьего угла — β. По условию задачи, либо α=70^°, либо β=70^°. Используем формулу суммы углов: 2α+β=180^°

• Если β=70^°, то подставим это значение в уравнение: 2α+70^°=180^° 2α=110^° α=55^° Получаем набор углов: 55^°,55^°,70^°.
• Если α=70^°, то оба равных угла по 70^°. Найдем β: 2·70^°+β=180^° 140^°+β=180^° β=40^° Получаем набор углов: 70^°,70^°,40^°.

Проверка.

Для первого набора: 55^°+55^°+70^°=110^°+70^°=180^°. Два угла равны (55^°=55^°), третий равен 70^°. Условие выполнено. Для второго набора: 70^°+70^°+40^°=140^°+40^°=180^°. Два угла равны (70^°=70^°), третий равен 40^° (или можно считать, что один из равных равен 70^°, а третий отличается). В условии сказано «третий равен 70», что допускает трактовку, где 70 — это конкретный угол, отличный от пары, ИЛИ ситуация, когда пара включает в себя 70. Однако стандартная формулировка «два угла равны, а третий равен...» обычно подразумевает, что третий угол — это тот, который не входит в пару равных. Но так как задача просит найти все варианты и предложить способы, важно учесть обе интерпретации геометрии равнобедренного треугольника с заданным углом. Примечание: Строгая логика условия «два угла равны, а третий равен 70°» чаще всего означает, что есть пара равных углов x,x и одиночный угол y=70^°. Тогда ответ только один: 55^°,55^°,70^°. Однако, если понимать фразу «предложить два способа» как поиск разных конфигураций треугольников, содержащих угол 70°, где остальные два равны между собой (что возможно только если 70 — это вершина или основание), то возможны оба варианта. В школьной практике для 6 класса часто подразумевается единственный случай: 70^° — это угол при вершине (одиночный). Но если 70^° — угол при основании, то второй при основании тоже 70^°, а при вершине 40^°. Формулировка «третий равен 70» исключает вариант, где 70 входит в пару? Нет, она просто выделяет его. Давайте проверим строгость. Если бы было «один из углов равен 70», то были бы два ответа. Фраза «два угла равны, а третий равен 70» структурно делит углы на группу {равный, равный} и элемент {третий}. Следовательно, третий угол фиксирован как 70. Значит, равные углы неизвестны. Пересмотр решения: Условие четко разделяет углы: два равных и один «третий». Третий = 70. Значит, схема такая: x,x,70. Второй случай (70,70,y) противоречит тексту «третий равен 70», так как там 70 входит в пару равных, а «третий» был бы y. Поэтому единственно верное толкование строгого текста: углы 55^°,55^°,70^°. Почему тогда просят два способа? Возможно, способ 1 — арифметический, способ 2 — алгебраический. Или же учебник допускает неточность формулировки, подразумевая «один из углов равен 70». Учитывая уровень 6 класса и просьбу «найти ВСЕ углы», безопаснее дать основной ответ по строгому тексту, но упомянуть альтернативную интерпретацию как возможную ошибку в понимании «третьего» угла, либо просто дать два метода вычисления для одного правильного случая. Давайте будем строги к тексту: «два угла равны, а третий равен 70». Это однозначно описывает треугольник с углами α,α,70^°. Других вариантов здесь нет. Два способа должны быть методами решения этой конкретной системы. Исправленный план проверки: Ответ: 55^°,55^°,70^°. Способы различаются методом вычисления (арифметика vs уравнение).