ГДЗ по математике, 6 класс, Виленкин, номер 1.149: Вычисления и построения

Для решения задачи рассмотрим отдельно два случая: периметр и площадь прямоугольника. Пусть стороны прямоугольника равны натуральным числам a и b. Нам нужно определить, могут ли значения периметра или площади быть простыми числами.

1. Анализ периметра

Формула периметра прямоугольника: P=2(a+b)

Так как a и b — натуральные числа (a≥1,b≥1), то их сумма a+b также является натуральным числом, не меньшим 2. Следовательно, периметр P всегда делится на 2 без остатка.

Простое число имеет ровно два делителя: 1 и само себя. Число P имеет делители 1, 2, a+b и P. Если P>2, то оно составное. Может ли P быть равно 2? Это возможно только если a+b=1, но так как минимальные натуральные стороны равны 1, то минимальная сумма 1+1=2, а минимальный периметр 2(1+1)=4. Таким образом, периметр любого прямоугольника с натуральными сторонами больше 2 и четен, значит, он не может быть простым числом.

2. Анализ площади

Формула площади прямоугольника: S=a·b

По определению, простое число p можно представить в виде произведения двух натуральных множителей только одним способом: p=1·p. Значит, чтобы площадь была простым числом, одна из сторон должна быть равна 1, а другая — самому этому простому числу.

Например, пусть a=1, а b=7. Тогда стороны являются натуральными числами, а площадь S=1·7=7. Число 7 является простым. Следовательно, площадь прямоугольника может быть простым числом.

Вывод:

• Периметр не может быть простым числом.
• Площадь может быть простым числом (если одна из сторон равна 1).