ГДЗ по математике, 6 класс, Виленкин, номер 2.106: Действия со смешанными числами

План решения:

Для ответа на вопросы нужно вспомнить определение взаимно простых чисел: два числа называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель (НОД) равен 1. Это значит, что у них нет общих простых множителей. Мы проанализируем каждый пункт для двух случаев: когда такие числа могут быть взаимно простыми (существует хотя бы один пример), и когда они всегда являются взаимно простыми (для любой пары таких чисел).

Вычисление и анализ:

Задание 1: Какие числа могут быть взаимно простыми?

• а) Два чётных числа. Любое чётное число делится на 2. Значит, НОД двух чётных чисел всегда не менее 2. Они не могут быть взаимно простыми.
• б) Чётное и нечётное числа. Пример: 4 и 9. Число 4=2², число 9=3². Общих делителей нет, кроме 1. Значит, они могут быть взаимно простыми.
• в) Два простых числа. Если взять два различных простых числа, например 5 и 7, то их единственные делители — это сами числа и единица. Общие делители только 1. Значит, они могут быть взаимно простыми (если числа различны).
• г) Простое и составное числа. Пример: простое 5 и составное 6. Делители 5: 1,5. Делители 6: 1,2,3,6. Общий делитель только 1. Значит, они могут быть взаимно простыми.
• д) Два последовательных натуральных числа. Пусть числа n и n+1. Любой общий делитель должен делить их разность: (n+1)-n=1. Единственный натуральный делитель числа 1 — это само число 1. Значит, они могут быть взаимно простыми (более того, они всегда ими являются).

Задание 2: Какие числа всегда взаимно простые?

• а) Два чётных числа. Как уже выяснено, имеют общий делитель 2. Не подходят.
• б) Чётное и нечётное числа. Пример контраргумента: 6 (чётное) и 9 (нечётное). НОД (6;9)=3≠1. Значит, они не всегда взаимно простые.
• в) Два простых числа. Если взять одинаковые простые числа, например 5 и 5, то НОД (5;5)=5≠1. В условии не сказано «различных», поэтому утверждение неверно для любых двух простых чисел. Однако в школьной практике часто подразумевается пара различных простых чисел. Но строго говоря, если числа равны, они не взаимно простые. Если же считать, что речь о разных простых числах, то да. Но есть более надежный вариант ниже. Давайте проверим пункт д.
• г) Простое и составное числа. Пример контраргумента: простое 3 и составное 9. НОД (3;9)=3≠1. Значит, они не всегда взаимно простые.
• д) Два последовательных натуральных числа. Доказательство из пункта 1д показывает, что НОД (n;n+1) всегда равен 1. Значит, они всегда взаимно простые.

Проверка и итоговый ответ:

В пункте 1 мы искали возможность существования такой пары. Подходят б, в, г, д. Пункт а исключен.

В пункте 2 мы искали гарантию. Пункт д подходит безусловно. Пункт в вызывает споры при совпадении чисел (p и p), но обычно в задачах такого типа под «двумя простыми числами» могут понимать различные, однако пункт д является математически строгим и безоговорочным ответом для категории «всегда». Часто в учебниках для 6 класса правильным ответом на вопрос «всегда» считают именно последовательные числа. Также можно отметить, что два различных простых числа всегда взаимно просты, но формулировка «два простых числа» допускает равенство. Поэтому самый точный ответ для «всегда» — только д.