ГДЗ по математике, 6 класс, Виленкин, номер 2.23: Действия со смешанными числами

План решения.

Нам нужно приписать к числу 1000 одну цифру слева (обозначим её a) и одну цифру справа (обозначим её b). Получится пятизначное число вида a100b. Цифры a и b могут принимать значения от 0 до 9, но так как a стоит на первом месте, то a≠0.

Число должно делиться на 2, 3, 6 и 9. Разложим эти условия:

• Делимость на 2: последняя цифра b должна быть чётной (0,2,4,6,8).
• Делимость на 9: сумма всех цифр числа должна делиться на 9. Сумма цифр равна a+1+0+0+b=a+b+1.
• Делимость на 3 следует из делимости на 9.
• Делимость на 6 следует из одновременного выполнения условий делимости на 2 и на 3.

Таким образом, нам нужно найти такие цифры a и b, что b — чётная, а выражение a+b+1 кратно 9.

Вычисление.

Рассмотрим возможные значения суммы S=a+b+1. Так как минимальные значения a=1,b=0, то S_min=1+0+1=2. Максимальные значения a=9,b=8 (так как b чётное), то S_max=9+8+1=18. Значит, S может быть равно только 9 или 18.

Случай 1: a+b+1=9⇒a+b=8.

Переберём возможные чётные значения b:

• Если b=0, то a=8. Число: 81000. Проверка: 8+1+0+0+0=9 (делится на 9), оканчивается на 0 (делится на 2). Подходит.
• Если b=2, то a=6. Число: 61002. Проверка: 6+1+0+0+2=9 (делится на 9), оканчивается на 2 (делится на 2). Подходит.
• Если b=4, то a=4. Число: 41004. Проверка: 4+1+0+0+4=9 (делится на 9), оканчивается на 4 (делится на 2). Подходит.
• Если b=6, то a=2. Число: 21006. Проверка: 2+1+0+0+6=9 (делится на 9), оканчивается на 6 (делится на 2). Подходит.
• Если b=8, то a=0. Но a не может быть 0, так как это первая цифра числа. Не подходит.

Случай 2: a+b+1=18⇒a+b=17.

Максимальная сумма двух цифр 9+9=18. Нам нужна сумма 17. Возможные пары (a,b): (8,9) и (9,8).

• Если b=9, то a=8. Но b должно быть чётным для делимости на 2. Не подходит.
• Если b=8, то a=9. Число: 91008. Проверка: 9+1+0+0+8=18 (делится на 9), оканчивается на 8 (делится на 2). Подходит.

Проверка и ответ.

Мы нашли несколько вариантов ответа. В задачах такого типа обычно подразумевается один конкретный ответ или перечисление всех возможных. Давайте проверим все найденные числа на делимость на 6 и 9:

1. 81000: сумма цифр 9 (делится на 9), последняя цифра 0 (делится на 2). Делится на 6. Верно.
2. 61002: сумма цифр 9 (делится на 9), последняя цифра 2 (делится на 2). Делится на 6. Верно.
3. 41004: сумма цифр 9 (делится на 9), последняя цифра 4 (делится на 2). Делится на 6. Верно.
4. 21006: сумма цифр 9 (делится на 9), последняя цифра 6 (делится на 2). Делится на 6. Верно.
5. 91008: сумма цифр 18 (делится на 9), последняя цифра 8 (делится на 2). Делится на 6. Верно.

Все пять чисел удовлетворяют условиям задачи. Обычно в таких заданиях принимается любой верный вариант или полный список. Приведём полный список ответов.