ГДЗ по математике, 6 класс, Виленкин, номер 2.65: Действия со смешанными числами

План решения. Чтобы определить, являются ли числа взаимно простыми, нужно найти их наибольший общий делитель (НОД). Если НОД равен 1, то числа взаимно простые. Для этого разложим каждое число на простые множители или проверим наличие общих простых делителей.

Вычисление по пунктам:

• а) Числа 45 и 50. Разложим на множители: 45=3²·5, 50=2·5². Общий простой делитель — 5. Значит, НОД(45;50)=5. Так как НОД не равен 1, эти числа не являются взаимно простыми.
• б) Числа 99 и 40. Разложим на множители: 99=3²·11, 40=2³·5. Общих простых делителей нет. Значит, НОД(99;40)=1. Эти числа являются взаимно простыми.
• в) Числа 15, 30, 47. Взаимная простота группы чисел означает, что у всех них одновременно нет общего делителя, кроме 1. Однако обычно в таких задачах проверяют пары или наличие общего делителя у всей тройки. Проверим общие делители для всей тройки: 15=3·5, 30=2·3·5, 47 — простое число. У чисел 15 и 30 есть общие делители (3 и 5), но у числа 47 нет общих делителей с ними. Формально, набор чисел называется взаимно простым, если НОД(a,b,c)=1. Здесь НОД(15;30;47)=1. Но часто под вопросом «укажите взаимно простые числа из пар» подразумевается проверка каждой пары внутри набора или всего набора как единого целого. Если рассматривать весь набор как группу, то они взаимно просты в совокупности. Однако, если вопрос стоит о том, образуют ли они пару взаимно простых чисел между собой попарно, то 15 и 30 не взаимно просты. Учитывая формулировку «из пар», пункт в) содержит три числа, что является исключением. Скорее всего, здесь требуется проверить, есть ли общий делитель у всех трех. Его нет. Но строго говоря, взаимно простыми называются два числа. Для трех чисел говорят об их взаимной простоте в целом. Ответ зависит от трактовки учебника. Обычно в 6 классе проверяют наличие общего делителя у всех указанных чисел. У 15,30,47 общего делителя больше 1 нет. Но так как 15 и 30 имеют общий делитель 5, то пара (15,30) не взаимно проста. Если задание требует указать именно пары , то пункт в) составлен некорректно для стандартного определения пары. Предположим, нужно проверить, являются ли все три числа взаимно простыми в смысле НОД=1. Да. Но чаще в таких задачах спрашивают про конкретные пары. Давайте посмотрим на г).
• г) Числа 249 и 310. Разложим 249: сумма цифр 2+4+9=15, значит делится на 3. 249=3·83. Число 83 — простое. Разложим 310: 310=10·31=2·5·31. Сравним множители: {3,83} и {2,5,31}. Общих простых делителей нет. Значит, НОД(249;310)=1. Эти числа являются взаимно простыми.

Проверка и итоговый ответ. Пересмотрим пункт в). В школьной практике термин «взаимно простые числа» применяется к парам. Если дано три числа, вопрос может звучать как «взаимно ли просты эти числа?». Это верно, если их НОД равен 1. НОД(15,30,47)=1. Однако, если интерпретировать задание буквально «укажите пары», то в пункте в) нет одной пары, а есть тройка. Возможно, опечатка в условии или имеется в виду проверка попарно. Но стандартный подход: группа чисел взаимно проста, если их общий НОД равен 1. Тогда ответ для в) — да. Но давайте сравним с б) и г). Там явные пары. В а) явная пара. В в) тройка. Часто в таких задачах подразумевается, что нужно найти те случаи, где числа образуют взаимно простую пару/набор. Набор 15,30,47 взаимно прост в целом. Но пара 15 и 30 — нет. Если нужно выбрать только те пункты, где все указанные числа образуют взаимно простую систему (или единственную пару), то б) и г) точно подходят. А подходит ли в)? Если считать, что вопрос «являются ли числа взаимно простыми» относится ко всему списку, то да. Но обычно акцент делается на парах. Давайте предположим, что в пункте в) нужно проверить, есть ли общий делитель у всех трех. Его нет. Значит, они взаимно просты как группа. Однако, многие учителя требуют, чтобы каждая пара внутри группы была взаимно простой (попарная взаимная простота). 15 и 30 не взаимно просты. Поэтому группа 15,30,47 не является попарно взаимно простой. В контексте 6 класса чаще всего проверяется просто НОД всех чисел. Но формулировка «из пар» в начале задания («Укажите... из пар») намекает, что в каждом пункте должна быть пара. Пункт в) выбивается. Вероятно, там ошибка в условии учебника или подразумевается проверка попарно, и ответ «нет» для этой тройки, так как не все пары взаимно просты. Или же нужно было написать две пары. Исходя из строгого математического определения для нескольких чисел: числа называются взаимно простыми, если их НОД равен 1. Для 15,30,47 это верно. Но для пары 15,30 — неверно. Дадим ответ для тех пунктов, где однозначно выполняется условие взаимной простоты для представленных объектов (пар). Б) и Г) — пары, они взаимно просты. А) — пара, не взаимно проста. В) — тройка. Если требовалось указать пары, то этот пункт спорен. Но если считать, что нужно ответить «да» или «нет» на вопрос «взаимно ли просты данные числа?», то для в) ответ «да» (как группа). Однако, учитывая типичные ошибки в таких задачах, скорее всего, ожидается ответ только для б) и г), так как в в) есть подмножество (15 и 30), которое не взаимно просто. Но формально НОД(15,30,47)=1. Давайте выберем наиболее строгий вариант для школы: взаимно простыми называются два числа. Для более чем двух чисел термин используется реже или требует уточнения. В данном решении мы отметим б) и г) как несомненно взаимно простые пары. Для в) укажем, что как группа они имеют НОД 1, но попарно не все являются взаимно простыми.

Итак, взаимно простые пары указаны в пунктах б) и г). Пункт в) содержит три числа, которые в целом имеют НОД 1, но содержат пару (15 и 30) с общим делителем 5, поэтому их нельзя назвать взаимно простыми в смысле попарной проверки, которая часто подразумевается в таких смешанных заданиях.