ГДЗ по математике, 6 класс, Виленкин, номер 2.75: Действия со смешанными числами

План решения.

Чтобы ответить на вопрос задачи, нужно проанализировать свойства простых чисел и их произведений. Вспомним основное определение: простое число — это натуральное число больше единицы, которое имеет ровно два делителя: единицу и само себя. Также вспомним Fundamental Theorem of Arithmetic (Основную теорему арифметики), которая гласит, что любое натуральное число можно представить в виде произведения простых множителей единственным образом (с точностью до порядка множителей).

Вычисление и логический вывод.

Допустим, существуют четыре различных простых числа p_1,p_2,p_3,p₄. По условию задачи предположим, что произведение двух из них равно произведению двух других. Без ограничения общности запишем равенство:

Рассмотрим правую часть этого равенства. Число p₃ является простым множителем числа p₃·p₄. Следовательно, p₃ должно делить левую часть равенства, то есть произведение p₁·p₂.

Так как p₃ — простое число, то по свойству делимости оно должно делить хотя бы один из множителей в произведении p₁·p₂. То есть либо p₃ делит p₁, либо p₃ делит p₂.

Но p₁ и p₂ также являются простыми числами. Единственные делители простого числа — это 1 и само это число. Поскольку p₃>1, то если p₃ делит p₁, то обязательно p₃=p₁. Аналогично, если p₃ делит p₂, то p₃=p₂.

Однако по условию все четыре числа p_1,p_2,p_3,p₄ должны быть различными . Мы получили противоречие: чтобы равенство произведений выполнялось, некоторые из этих простых чисел должны совпадать.

Проверка и итог.

Попробуем подобрать пример с непростыми числами или повторяющимися простыми, чтобы убедиться в логике. Например, 2·6=3·4, но здесь 6 и 4 не простые. Если взять только простые: 2·3=6, а справа должно быть произведение двух простых. 6 нельзя разложить на два различных простых множителя иначе, чем 2·3. Любое другое сочетание, например 2·5=10, требует справа 2·5 или 5·2, где числа не различны относительно левой части.

Следовательно, невозможно найти четыре различных простых числа, удовлетворяющих данному условию.