ГДЗ по математике, 6 класс, Виленкин, номер 2.76: Действия со смешанными числами

План решения:

В задачах на перестановки мы используем факториал числа элементов. Если n различных предметов нужно разместить на n различных местах, то количество способов равно произведению всех натуральных чисел от 1 до n, то есть n!. В пункте а) у нас 9 зрителей и 9 стульев. В пункте б) один зритель уходит, значит, остаётся 8 зрителей для размещения на тех же 9 стульях? Нет, условие говорит «разместиться зрители на этих стульях», подразумевая, что свободных мест становится больше или меняется состав участников. Давайте внимательно прочитаем: «если один из них пойдёт помогать артистам». Это значит, что на спектакле остаются только остальные зрители. Сколько их было? 9. Ушёл 1. Осталось 8. Стульев осталось 9. Но обычно в таких задачах 6 класса под «размещением» понимается перестановка всех присутствующих лиц на доступных им местах, либо это задача на размещение без повторений. Однако, стандартная формулировка «сколькими способами могут разместиться... если один ушёл» часто подразумевает, что мы рассматриваем перестановку оставшихся людей на всех стульях (где один стул пустой) или просто перестановку оставшихся людей между собой на занятых ими стульях? Давайте посмотрим на контекст темы «Наибольший общий делитель». Эта тема не связана с комбинаторикой напрямую. Скорее всего, это опечатка в условии задачи или несоответствие номера главы и содержания. Тема НОД предполагает задачи на разложение на множители, поиск общих делителей. Задачи про зрителей и стулья — это классическая комбинаторика (тема «Перестановки»). Если строго следовать математической логике комбинаторики: а) 9 человек на 9 стульев: P₉=9! б) 1 человек ушёл. Осталось 8 человек. На сколько стульев они садятся? Если они занимают любые 8 из 9 стульев, то это число размещений A89=9!/(9-8)!=9!. Если же они садятся на конкретные 8 стульев (например, те, которые были заняты ранее, а освободившийся стул пустует), то это перестановка 8 человек на 8 местах: P₈=8!. Однако, учитывая, что тема урока — НОД, возможно, в оригинальном учебнике была другая задача, а здесь приведена ошибка привязки. Но я должен решить то, что дано в условии. Предположим, что это всё-таки задача на перестановки, так как она явно сформулирована как таковая. Решение пункта а): Количество способов разместить n различных объектов на n различных местах вычисляется по формуле перестановок: P_n=n!. Для n=9: P₉=9!=1·2·3·4·5·6·7·8·9. Решение пункта б): Один зритель ушёл. Осталось 9-1=8 зрителей. Здесь возникает двусмысленность: садятся ли они на все 9 стульев (оставляя один пустым) или только на 8 стульев? Фраза «разместиться зрители на этих стульях» (на девяти стульях) при наличии 8 человек означает, что один стул останется пустым. Количество способов выбрать 8 стульев из 9 и расставить на них 8 человек равно числу размещений A89. A89=9!/(9-8)!=9!/1!=9! Это тот же ответ, что и в пункте а). Это странно для учебной задачи. Альтернативная интерпретация (более вероятная для школьного курса, где иногда путают формулировки): «разместиться» может означать просто перестановку оставшихся людей относительно друг друга на своих прежних местах или на любом наборе из 8 мест. Если считать, что места фиксированы (например, ряд из 8 стульев), то ответ 8!. Но стульев 9. Давайте проверим другой вариант: может быть, задача должна решаться через НОД? Нет, это невозможно. Числа 9 и 8 взаимно просты, но это не влияет на подсчёт вариантов. Скорее всего, в пункте б) имеется в виду, что зрители занимают все имеющиеся у них места , то есть мы переставляем 8 человек на 8 конкретных стульев (один стул выбывает из рассмотрения или игнорируется как «пустое место», которое не различается). Но если стулья различны, то выбор пустого стула важен. Тем не менее, в простых задачах 6 класса часто подразумевается, что если людей меньше, чем мест, и вопрос «сколько способов разместиться», то это перестановка людей на любые подходящие места. Но давайте посмотрим на самый простой вариант, который часто встречается в таких сборниках: а) 9! б) 8! (предполагая, что мы просто переставляем оставшихся 8 человек на 8 стульев, игнорируя факт наличия 9-го стула, или считая, что они садятся на первые 8 стульев). Или, возможно, задача на НОД была другой, а текст перепутан. Но я обязан решить данный текст. Давайте посчитаем значения: 9!=362 880 8!=40 320 Если трактовать пункт б) как «сколько способов рассадить 8 человек на 9 стульев», то ответ 9!. Если как «сколько способов рассадить 8 человек на 8 стульев», то 8!. Фраза «на этих стульях» (отсылка к 9 стульям) склоняет к первому варианту. Но тогда пункты а и б дают одинаковый ответ, что маловероятно для дидактического материала. Есть ещё одна возможность: в пункте б) спрашивается, сколькими способами могут разместиться зрители (множественное число, подразумевающее группу), если один ушёл. Может быть, речь о том, что оставшиеся 8 человек занимают 8 стульев, а 9-й стул пустует. Количество способов выбрать 8 стульев из 9 равно C89=9. Для каждого выбора стульев существует 8! способов рассадить людей. Итого 9·8!=9!. Опять тот же ответ. Похоже, математически ответы совпадают. Но в школьной практике иногда ошибочно считают, что если людей стало меньше, то вариантов стало меньше (8!). Я дам строгое решение. Вычисление: а) Количество способов разместить 9 различных зрителей на 9 различных стульях равно числу перестановок из 9 элементов: P₉=9!=1·2·3·4·5·6·7·8·9 Вычислим произведение: 1·2=2 2·3=6 6·4=24 24·5=120 120·6=720 720·7=5 040 5 040·8=40 320 40 320·9=362 880 Ответ: 362 880 способов. б) Один зритель ушёл, осталось 8 зрителей. Они должны разместиться на 9 стульях. Это означает, что один стул останется пустым. Шаг 1: Выберем стул, который останется пустым. Есть 9 вариантов выбора. Шаг 2: Разместим 8 оставшихся зрителей на 8 занятых стульях. Количество способов сделать это равно 8!. Общее количество способов: N=9·8!=9!=362 880 Таким образом, количество способов не изменилось. Примечание: Если бы в задаче подразумевалось, что зрители садятся только на определённые 8 стульев (например, первый ряд из 8 мест), то ответ был бы 8!=40 320. Однако формулировка «на этих стульях» (то есть на всех 9) ведёт к результату 9!. Учитывая возможную неточность формулировок в учебных пособиях, стоит отметить оба варианта, но основным является строгий математический вывод. Проверка: Логика проверки основана на принципе умножения. Для пункта а) каждый следующий зритель имеет на одно место меньше для выбора: первый — 9 вариантов, второй — 8, ..., последний — 1. Произведение 9·8·...·1=9!. Для пункта б) можно представить процесс иначе: пусть сначала придут 9 человек и займут все стулья (9! способов). Затем один из них уходит. Но уход конкретного человека не меняет конфигурацию остальных на своих местах. Если же мы заново рассаживаем 8 человек на 9 стульев, то это эквивалентно тому, что мы выбираем, кто из 9 потенциальных «позиций» (стульев) будет пустовать, и переставляем людей. Математически это подтверждает равенство 9·8!=9!.