ГДЗ по математике, 6 класс, Виленкин, номер 3.63: Отношения и пропорции

Для определения вида зависимости между двумя величинами x и y будем использовать следующие критерии:

• Прямая пропорциональность , если отношение y/x=k (где k — постоянная величина). При увеличении одной величины другая увеличивается во столько же раз.
• Обратная пропорциональность , если произведение x×y=k (где k — постоянная величина). При увеличении одной величины другая уменьшается во столько же раз.
• Отсутствие пропорциональности , если ни отношение, ни произведение величин не являются постоянными.

Рассмотрим каждый пункт отдельно:

1. а) Время поезда (t) и путь (S) при постоянной скорости (v).
   Формула пути: S=v×t. Так как скорость v постоянна, то отношение S/t=v=const. Это прямая пропорциональность .
2. б) Количество товара (n) и его стоимость (C).
   Если цена за единицу товара фиксирована (что подразумевается в стандартных задачах такого типа), то C=p×n, где p — цена. Отношение C/n=p=const. Это прямая пропорциональность .
3. в) Число рабочих (m) и время выполнения работы (t).
   При одинаковой производительности каждого рабочего общий объем работы постоянен: m×t=A=const. Чем больше рабочих, тем меньше времени нужно. Это обратная пропорциональность .
4. г) Масса бруска (M) и его длина (L).
   Масса зависит от объема и плотности: M=ρ×V. Если брусок однородный и имеет постоянное сечение, то V=S_сеч ×L. Тогда M=(ρ×S_сеч)×L. Отношение M/L=ρ×S_сеч =const. Это прямая пропорциональность .
5. д) Время работы техники (t) и её количество (n).
   Аналогично пункту «в». Общий объем работ или требуемая мощность распределены между единицами техники. Обычно подразумевается, что для выполнения фиксированного задания чем больше единиц техники, тем меньше времени требуется на каждую или общее время сокращается обратно пропорционально количеству (при условии параллельной работы над одним заданием). Произведение n×t=const (для фиксированного объема работ). Это обратная пропорциональность .
6. е) Цена товара (p) и количество (n) при фиксированной сумме покупки (S).
   Сумма покупки S=p×n. Так как S фиксировано, то произведение p×n=S=const. Это обратная пропорциональность .
7. ж) Возраст человека (a) и его рост (h).
   Рост человека меняется неравномерно: быстро в детстве, медленно в юности и перестает расти во взрослом возрасте. Отношение h/a не постоянно, и произведение h×a также не постоянно. Это отсутствие пропорциональности .
8. з) Площадь квадрата (S) и его сторона (a).
   Формула площади: S=a². Отношение S/a=a (не постоянно, так как a меняется). Произведение S×a=a³ (не постоянно). Зависимость квадратичная, а не линейная. Это отсутствие пропорциональности .
9. и) Высота параллелепипеда (h) и объём (V) при постоянной площади основания (S_осн).
   Формула объема: V=S_осн ×h. Так как S_осн постоянна, то V/h=S_осн =const. Это прямая пропорциональность .
10. к) Урожайность (u) и масса зерна (M) при постоянной площади посева (S).
    Урожайность определяется как масса зерна с единицы площади: u=M/S. Отсюда M=u×S. Так как S постоянно, то M/u=S=const. Это прямая пропорциональность .
11. л) Множители (a и b) при данном произведении (P).
    По условию a×b=P=const. Произведение величин постоянно. Это обратная пропорциональность .
12. м) Делимое (a) и делитель (b) при данном частном (c).
    По определению деления: a:b=c, откуда a=c×b. Так как частное c постоянно, то a/b=c=const. Это прямая пропорциональность .

Проверка результатов:
Мы последовательно применили математические модели к каждой паре величин.
- В случаях прямой пропорциональности (а, б, г, и, к, м) мы увидели формулу вида y=kx.
- В случаях обратной пропорциональности (в, д, е, л) мы увидели формулу вида xy=k.
- В случаях отсутствия пропорциональности (ж, з) зависимость не сводится к линейной или гиперболической форме с постоянным коэффициентом.
Логика выводов согласуется с определениями пропорциональных зависимостей из курса алгебры.