ГДЗ по математике, 6 класс, Виленкин, номер 4.358: Действия с рациональными числами

План решения:

Чтобы определить, можно ли представить обыкновенную дробь 1/a в виде десятичной дроби или привести к знаменателю 100, нужно проанализировать знаменатель a.

1. Дробь можно представить в виде конечной десятичной дроби тогда и только тогда, когда в разложении знаменателя на простые множители встречаются только двойки и пятёрки.
2. Дробь можно привести к знаменателю 100 (10²=2²·5²), если знаменатель a является делителем числа 100. Это значит, что после сокращения (если возможно) или домножения мы должны получить ровно 100 внизу. Проще говоря, 100 должно делиться на a без остатка.

Вычисления по пунктам:

Случай 1: a=4

а) Разложим 4 на простые множители: 4=2². В разложении есть только двойки. Значит, дробь 1/4 можно представить в виде десятичной дроби (1/4=0,25).

б) Проверим, делится ли 100 на 4: 100:4=25. Так как деление точное, дробь можно привести к знаменателю 100: 1/4=1·25/4·25=25/100.

Случай 2: a=25

а) Разложим 25 на простые множители: 25=5². В разложении есть только пятёрки. Значит, дробь 1/25 можно представить в виде десятичной дроби (1/25=0,04).

б) Проверим, делится ли 100 на 25: 100:25=4. Деление точное, поэтому дробь можно привести к знаменателю 100: 1/25=1·4/25·4=4/100.

Случай 3: a=6

а) Разложим 6 на простые множители: 6=2·3. В разложении встречается простое число 3, отличное от 2 и 5. Значит, дробь 1/6 нельзя представить в виде конечной десятичной дроби (получается периодическая 0,1(6)).

б) Проверим, делится ли 100 на 6: 100:6=16 с остатком 4. Так как 100 не делится на 6 нацело, дробь 1/6 нельзя привести к знаменателю 100.

Случай 4: a=8

а) Разложим 8 на простые множители: 8=2³. В разложении есть только двойки. Значит, дробь 1/8 можно представить в виде десятичной дроби (1/8=0,125).

б) Проверим, делится ли 100 на 8: 100:8=12,5. Деление не целочисленное. Чтобы привести дробь к знаменателю 100, числитель должен быть целым числом. Здесь это невозможно, так как 8 не является делителем 100. Следовательно, дробь 1/8 нельзя привести к знаменателю 100.

Проверка и итог:

Мы последовательно проверили каждое значение a по двум критериям. Для a=4 и a=25 ответы положительны для обоих пунктов. Для a=6 ответы отрицательны для обоих пунктов. Для a=8 ответ положителен для пункта а) и отрицателен для пункта б). Логика верна.