ГДЗ по математике, 6 класс, Виленкин, номер 6.54: Координаты на плоскости
Математика: 6-й класс: базовый уровень: учебник: в 2 частях; 3-е издание, переработанное — Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С. и др.
Илья Морозов, методист по математике Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Построить треугольник ABC с вершинами A(3; 5), B(3; -2), C(-5; -2).
а) Убедиться, что он прямоугольный, назвать перпендикулярные отрезки.
б) Соединить середины сторон AC (K), BC (M) и AB (N). Проверить пропорциональность сторон треугольников KMN и ABC.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения:
- В пункте а) проанализируем координаты вершин треугольника ABC, чтобы определить взаимное расположение его сторон. Если две стороны параллельны осям координат и пересекаются под прямым углом, то треугольник прямоугольный.
- В пункте б) найдём координаты середин сторон K,M,N по формулам середины отрезка. Затем вычислим длины сторон исходного треугольника ABC и нового треугольника KMN. Сравним соответствующие стороны, чтобы проверить пропорциональность (отношение должно быть одинаковым для всех пар).
Выполнение пункта а):
Даны вершины: A(3;5), B(3;-2), C(-5;-2).
- Рассмотрим отрезок AB. Координата x у точек A и B одинакова (x=3). Это значит, что отрезок AB перпендикулярен оси абсцисс (Ox) и параллелен оси ординат (Oy). AB=|yA-yB|=|5-(-2)|=|5+2|=7
- Рассмотрим отрезок BC. Координата y у точек B и C одинакова (y=-2). Это значит, что отрезок BC перпендикулярен оси ординат (Oy) и параллелен оси абсцисс (Ox). BC=|xC-xB|=|-5-3|=|-8|=8
- Так как ось Ox перпендикулярна оси Oy, то отрезки AB и BC, лежащие на прямых, параллельных этим осям, также перпендикулярны друг другу. AB⊥BC
Следовательно, угол ∠ABC=90°. Треугольник ABC — прямоугольный с катетами AB и BC.
Ответ к пункту а): Треугольник прямоугольный. Перпендикулярные отрезки: AB и BC.
Выполнение пункта б):
Найдём координаты середин сторон:
- K — середина AC: K(xA+xC/2;yA+yC/2)=K(3+(-5)/2;5+(-2)/2)=K(-1;1.5)
- M — середина BC: M(xB+xC/2;yB+yC/2)=M(3+(-5)/2;-2+(-2)/2)=M(-1;-2)
- N — середина AB: N(xA+xB/2;yA+yB/2)=N(3+3/2;5+(-2)/2)=N(3;1.5)
Теперь вычислим длины сторон треугольников ABC и KMN.
Треугольник ABC:
- AB=7 (вычислено выше)
- BC=8 (вычислено выше)
- AC=(xC-xA)2+(yC-yA)2=(-5-3)2+(-2-5)2=(-8)2+(-7)2=64+49=113
Треугольник KMN:
- Сторона KN: точки K(-1;1.5) и N(3;1.5). Ординаты равны, отрезок горизонтален. KN=|3-(-1)|=4 Заметим, что KN соединяет середины AC и AB, поэтому она параллельна BC и равна её половине: KN=1/2BC=1/2·8=4. Совпадает.
- Сторона KM: точки K(-1;1.5) и M(-1;-2). Абсциссы равны, отрезок вертикален. KM=|1.5-(-2)|=|1.5+2|=3.5 Заметим, что KM соединяет середины AC и BC, поэтому она параллельна AB и равна её половине: KM=1/2AB=1/2·7=3.5. Совпадает.
- Сторона MN: точки M(-1;-2) и N(3;1.5). MN=(3-(-1))2+(1.5-(-2))2=42+3.52=16+12.25=28.25 Упростим выражение под корнем для сравнения с AC: AC=113 MN=28.25=113/4=113/2=1/2AC
Проверка пропорциональности:
Сравним отношения соответствующих сторон треугольников KMN и ABC:
| Сторона △KMN | Длина | Соответствующая сторона △ABC | Длина | Отношение KMN/ABC |
|---|---|---|---|---|
| KN | 4 | BC | 8 | 4/8=1/2 |
| KM | 3.5 | AB | 7 | 3.5/7=1/2 |
| MN | 113/2 | AC | 113 | 113/2/113=1/2 |
Все отношения равны 1/2. Следовательно, стороны треугольников пропорциональны.
Ответ к пункту б): Стороны треугольников KMN и ABC пропорциональны с коэффициентом подобия k=1/2.
а) Треугольник прямоугольный, так как AB∥Oy, BC∥Ox, значит AB⊥BC. Перпендикулярные отрезки: AB и BC.
б) Стороны пропорциональны. Отношение соответствующих сторон равно 1:2 (KN/BC=KM/AB=MN/AC=1/2).
В решении использовано свойство средней линии треугольника, которое подтверждается вычислениями через координаты. Для учеников 6 класса важно показать, что если стороны параллельны осям, их длина находится просто как модуль разности соответствующих координат. Вычисление гипотенузы через теорему Пифагора или формулу расстояния между точками здесь необходимо для строгой проверки пропорциональности третьей пары сторон.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 6.54 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика: 6-й класс: базовый уровень: учебник: в 2 частях; 3-е издание, переработанное», Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 6.54?
Краткий ответ: а) Треугольник прямоугольный, так как AB Oy, BC Ox, значит AB BC. Перпендикулярные отрезки: AB и BC. б) Стороны пропорциональны. Отношение соответствующих сторон равно 1:2 ( KNBC = KMAB = MNAC = 12).
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика: 6-й класс: базовый уровень: учебник: в 2 частях; 3-е издание, переработанное», Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 6. Координаты на плоскости.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.