ГДЗ по математике, 6 класс, Виленкин, номер 6.69: Координаты на плоскости

План решения:

• Для пункта а) построим прямоугольный треугольник MNP с прямым углом при вершине N. Проведем через каждую вершину прямые, параллельные противоположным сторонам. Проанализируем полученную фигуру.
• Для пункта б) проведем через вершины M и P прямые, перпендикулярные сторонам треугольника. Подсчитаем количество образованных прямоугольных треугольников.

Решение пункта а)

Пусть дан прямоугольный треугольник MNP, где ∠N=90^°. Стороны: катеты MN и NP, гипотенуза MP.

1. Через вершину M проводим прямую, параллельную стороне NP (обозначим её l₁), и прямую, параллельную стороне MP (обозначим её l₂).
2. Через вершину N проводим прямую, параллельную стороне MP (обозначим её l₃), и прямую, параллельную стороне MN (обозначим её l₄).
3. Через вершину P проводим прямую, параллельную стороне MN (обозначим её l₅), и прямую, параллельную стороне NP (обозначим её l₆).

Рассмотрим точки пересечения этих прямых. Так как l₁∥NP и l₅∥MN, а MN⊥NP, то l₁⊥l₅. Аналогично для других пар.

Прямые, проведенные через вершины параллельно сторонам, образуют большой треугольник, который является подобным исходному с коэффициентом подобия 2. Вершины этого большого треугольника — это точки пересечения соответствующих параллельных прямых. Например, точка пересечения прямой через M параллельной NP и прямой через P параллельной MN будет третьей вершиной нового треугольника, если рассматривать только внешние контуры, но по условию нужно обозначить все точки пересечения.

Более простой подход: через вершины прямоугольного треугольника провели прямые, параллельные сторонам. Получился большой треугольник, стороны которого лежат на этих прямых. Исходный треугольник MNP является средним треугольником этого большого треугольника (его вершины — середины сторон большого). Следовательно, большой треугольник также является прямоугольным .

Решение пункта б)

Исходный треугольник MNP (∠N=90^°).

1. Через вершину M проводим прямую, перпендикулярную стороне MP (гипотенузе). Обозначим эту прямую m₁. Также через M можно провести прямую, перпендикулярную стороне MN (катету). Но так как MN⊥NP, то прямая, перпендикулярная MN в точке M, параллельна NP. Условие говорит «перпендикулярные сторонам», обычно подразумевается перпендикуляры к сторонам, не содержащим данную вершину, или ко всем сторонам. Рассмотрим стандартную интерпретацию: строим перпендикуляры к сторонам из вершин.
2. Если проводить перпендикуляры к сторонам, не содержащим вершину:
   • Из M к NP: так как MN⊥NP, то этот перпендикуляр совпадает со стороной MN.
   • Из P к MN: так как PN⊥MN, то этот перпендикуляр совпадает со стороной PN.
   В этом случае новых линий нет, кроме продолжения сторон. Треугольников всего 1 (исходный).
3. Однако, чаще в таких задачах под «провести прямые, перпендикулярные сторонам» понимают проведение перпендикуляров к сторонам, которые проходят через вершины, но не обязательно являются высотами. Или же имеется в виду построение перпендикуляров к сторонам, проходящих через другие вершины? Нет, «через вершины M и P». Давайте рассмотрим вариант, когда мы проводим прямые, перпендикулярные любым сторонам.
   1. Через M проводим прямую ⊥MP. Она пересекает прямую NP (или её продолжение) в некоторой точке K. Треугольник MKP — прямоугольный (∠MKP не обязательно прямой, прямой угол при M относительно гипотенузы? Нет, угол ∠KMP=90^°).
   2. Через P проводим прямую ⊥MP. Она пересекает прямую MN (или её продолжение) в точке L. Треугольник MLP — прямоугольный (∠MPL=90^°).
   Также есть исходный треугольник MNP (∠N=90^°).
   Если прямые пересекаются между собой, могут образоваться дополнительные треугольники. Прямая через M ⊥MP и прямая через P ⊥MP параллельны друг другу. Они не пересекаются.
   Следовательно, у нас есть три явных прямоугольных треугольника:
   • MNP (заданный).
   • MKP (где K — точка пересечения перпендикуляра из M к MP с прямой NP).
   • PLM (где L — точка пересечения перпендикуляра из P к MP с прямой MN).
   Если считать только те, что явно видны на чертеже без дополнительных точек пересечения с продолжениями сторон, то ответ может быть другим. Но геометрически, если провести такие прямые, они отсекают новые треугольники.
   Однако, часто в школьной практике «провести прямые, перпендикулярные сторонам» означает проведение высот. Высоты из острых углов прямоугольного треугольника совпадают с катетами. Тогда новых треугольников не появляется. Ответ: 1.
   Но давайте посмотрим на формулировку «прямые, перпендикулярные сторонам». Это не обязательно высоты. Это любые прямые, проходящие через вершину и перпендикулярные какой-либо стороне.
   Вариант 1: Перпендикуляр к гипотенузе MP через M. Он параллелен высоте из N. Пересекает катет NP (в продолжении?) или сам катет? Угол M острый. Перпендикуляр к MP в точке M направлен наружу от треугольника. Он не пересечет сторону NP внутри отрезка. Он пересечет прямую NP за пределами отрезка. Образуется новый прямоугольный треугольник.
   Вариант 2: Перпендикуляр к катету MN через M. Эта прямая параллельна NP. Не образует замкнутого треугольника с существующими линиями, кроме как с бесконечностью.
   Наиболее вероятный смысл задачи для 6 класса: построить перпендикуляры к сторонам, проходящие через вершины, и посчитать получившиеся прямоугольные треугольники. Если ограничиться только теми, что имеют общие стороны с исходным или его частями, то часто подразумевают просто исходный треугольник, если перпендикуляры совпадают с катетами. Но если строить перпендикуляры к гипотенузе , то появляются новые.
   Давайте предположим, что речь идет о перпендикулярах к сторонам, не содержащим вершину (высотам). Тогда их две: MN и PN. Они уже есть. Треугольник один.
   Если речь о любых перпендикулярах: через M к MP и через P к MP. Эти две прямые параллельны. Они вместе с прямыми MN и NP образуют трапецию или два отдельных треугольника с основанием на прямой MP? Нет.
   Рассмотрим рисунок: Треугольник MNP. Прямая a через M ⊥MP. Прямая b через P ⊥MP. a∥b. Прямая a пересекает прямую NP в точке K. Треугольник MKP — прямоугольный (∠M=90^°). Прямая b пересекает прямую MN в точке L. Треугольник PLM — прямоугольный (∠P=90^°). Исходный MNP — прямоугольный (∠N=90^°). Итого 3 треугольника.

Проверка:

а) Треугольник, образованный прямыми, параллельными сторонам через вершины, всегда подобен исходному. Для прямоугольного он остается прямоугольным.

б) При проведении перпендикуляров к гипотенузе через концы гипотенузы, эти перпендикуляры параллельны друг другу и перпендикулярны гипотенузе. Они пересекают продолжения катетов, образуя два новых больших прямоугольных треугольника, плюс исходный малый. Всего 3.