ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 150: Элементарные события и их вероятности

Рассмотрим эксперимент: одновременный бросок трёх игральных костей. Общее количество элементарных исходов равно 6·6·6=216, так как на каждой кости может выпасть одно из шести чисел от 1 до 6.Шаг 1. Решение пункта а)Событие A: «хотя бы на одной из костей выпало менее трёх очков».Удобнее воспользоваться методом дополнения. Пусть событие A — противоположное событию A. Это значит, что ни на одной кости не выпало менее трёх очков. Иными словами, на всех трёх костях выпало число очков, большее или равное трём (то есть 3, 4, 5 или 6).На одной кости благоприятных исходов для события A ровно 4 варианта: {3,4,5,6}. Вероятность того, что на одной конкретной кости выпадет число ≥3, равна 4/6=2/3.Так как броски независимы, вероятность того, что это произойдёт одновременно на всех трёх костях:P(A)=(2/3)³=8/27Теперь найдём искомую вероятность события A:P(A)=1-P(A)=1-8/27=19/27Переведём обыкновенную дробь в десятичную:19/27≈0,7037...Округляя до трёх знаков после запятой, получаем 0,704.Шаг 2. Решение пункта б)Событие B: «среди выпавших очков есть числа 1 и 5». Это означает, что хотя бы одна кость показала 1, и хотя бы одна кость показала 5. Третья кость может показать любое число.Будем считать упорядоченные тройки (x_1,x_2,x₃), где x_i — результат на i-й кости. Всего исходов 216.Используем формулу включений-исключений или прямой подсчёт благоприятных исходов. Подсчитаем количество исходов, где есть хотя бы одна единица и хотя бы одна пятёрка.Обозначим через N₁ множество исходов с хотя бы одной единицей, а через N₅ — множество исходов с хотя бы одной пятёркой. Нам нужно найти размер пересечения |N_1 \cap N_5|.По формуле включений-исключений для вероятностей (или количеств):|N₁∪N₅|=|N₁|+|N₅|-|N₁∩N₅|Но нам проще посчитать напрямую количество исходов, содержащих и 1, и 5.Рассмотрим возможные структуры комбинаций из трёх костей, содержащих цифры 1 и 5: Случай 1: Цифры 1, 5 и какая-то третья цифра k. Если k=1, то набор {1,1,5}. Перестановки: 3!/2!1!=3 варианта (115, 151, 511).Если k=5, то набор {1,5,5}. Перестановки: 3!/1!2!=3 варианта (155, 515, 551).Если k∈{2,3,4,6} (4 варианта), то набор {1,5,k} состоит из трёх различных цифр. Количество перестановок для каждого такого набора равно 3!=6. Итого: 4·6=24 варианта.Суммируем все благоприятные исходы:m_B=3+3+24=30Вероятность события B:P(B)=30/216Сократим дробь на 6:P(B)=5/36Переведём в десятичную дробь:5/36≈0,13888...Округляя до трёх знаков после запятой, получаем 0,139.