ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 201
Тема: Комбинаторное правило умножения. Перестановки и факториал числа
Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.
Сергей Мишин, преподаватель математики Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
В классах 10 «А» (20 чел.), 10 «Б» (25 чел.) и 10 «В» (24 чел.). Найти число способов выбрать троих учеников так, чтобы
а) они были из разных классов
б) все были из 10 «А»
в) класс не важен.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
В данной задаче мы будем использовать комбинаторные принципы: правило умножения для независимых выборов и формулу числа сочетаний для выбора группы из одного множества. Обозначим количество учеников в классах: nA=20, nB=25, nC=24.
Шаг 1. Пункт а) Выбор троих учеников из разных классов
Нам нужно выбрать по одному ученику из каждого класса: один из 10 «А», один из 10 «Б» и один из 10 «В». Поскольку выбор из одного класса не зависит от выбора из другого, применяем комбинаторное правило умножения .
Число способов выбрать одного ученика из 10 «А» равно 20.
Число способов выбрать одного ученика из 10 «Б» равно 25.
Число способов выбрать одного ученика из 10 «В» равно 24.
Общее число способов Na вычисляется как произведение этих чисел:
Na=20·25·24Выполним вычисления:
20·25=500 500·24=12 000Ответ для пункта а): 12 000 способов.
Шаг 2. Пункт б) Выбор троих учеников только из 10 «А»
Здесь нам нужно выбрать группу из 3 человек из общего количества 20 учеников класса 10 «А». Порядок выбора не важен (важно лишь то, кто попал в группу), поэтому используем формулу числа сочетаний Ckn:
Ckn=n!/k!(n-k)!Подставим значения n=20 и k=3:
C320=20!/3!(20-3)!=20!/3!·17!Сократим факториалы (20!=20·19·18·17!):
C320=20·19·18/3·2·1Вычислим знаменатель: 3·2·1=6.
Вычислим числитель или сократим дробь перед умножением. Заметим, что 18 делится на 6:
Тогда выражение упрощается до:
20·19·3 20·19=380 380·3=1 140Ответ для пункта б): 1 140 способов.
Шаг 3. Пункт в) Выбор троих учеников без ограничения по классам
В этом пункте важно просто выбрать любых троих учеников из всех имеющихся. Сначала найдем общее количество учеников во всех трех классах:
Ntotal=nA+nB+nC=20+25+24=69Теперь нужно выбрать 3 человека из 69. Снова используем формулу сочетаний C369:
C369=69!/3!(69-3)!=69·68·67/3·2·1Упростим вычисления. Знаменатель равен 6.
Можно сократить 69 с 3 (останется 23) и 68 с 2 (останется 34). Или сначала перемножить числитель, но сокращение удобнее:
Осталось вычислить произведение:
23·34·67Сначала умножим 23·34:
23·34=23·(30+4)=690+92=782Теперь умножим результат на 67:
782·67Разобьем на части для удобства:
782·60=46 920 782·7=5 474 46 920+5 474=52 394Ответ для пункта в): 52 394 способа.
а) 12 000
б) 1 140
в) 52 394
Задача решена стандартными методами комбинаторики. Для пункта а) применено правило произведения, так как выборы из разных классов независимы. Для пунктов б) и в) использована формула сочетаний, так как порядок выбора участников группы не имеет значения. Вычисления проверены на корректность арифметических операций.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 201 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 201?
Краткий ответ: а) 12 000 б) 1 140 в) 52 394.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 22. Комбинаторное правило умножения. Перестановки и факториал числа.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.