ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 204
Тема: Комбинаторное правило умножения. Перестановки и факториал числа
Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.
Никита Ершов, методист по вероятности Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Вычислить значения выражений
а) 6!/3!
б) 9!/7!
в) 1000!/999!
г) 16!/9!·7!.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для решения этих примеров вспомним определение факториала. Факториал натурального числа n (обозначается n!) равен произведению всех натуральных чисел от 1 до n: n!=1·2·3·…·n.
Основное свойство, которое мы будем использовать: n!=n·(n-1)!. Это позволяет сокращать дроби, где в числителе и знаменателе стоят факториалы близких чисел.
Шаг 1. Вычисление выражения а)
Нам нужно найти значение выражения 6!/3!.
Распишем числитель 6!, используя свойство факториала, чтобы выделить множитель 3!:
6!=6·5·4·3!Подставим это в дробь:
6!/3!=6·5·4·3!/3!Сократим на 3!:
6·5·4=30·4=120Ответ для пункта а): 120.
Шаг 2. Вычисление выражения б)
Вычислим 9!/7!.
Распишем 9! через 7!:
9!=9·8·7!Подставляем в исходное выражение:
9!/7!=9·8·7!/7!Сокращаем на 7!:
9·8=72Ответ для пункта б): 72.
Шаг 3. Вычисление выражения в)
Найдем значение 1000!/999!.
Здесь не нужно вычислять огромные числа. Используем то же правило:
1000!=1000·999!Тогда:
1000!/999!=1000·999!/999!Сокращаем на 999!:
1000Ответ для пункта в): 1000.
Шаг 4. Вычисление выражения г)
Вычислим 16!/9!·7!.
Сначала упростим отношение 16!/9!. Распишем 16! так, чтобы получить 9!:
16!=16·15·14·13·12·11·10·9!Тогда:
16!/9!=16·15·14·13·12·11·10Теперь подставим это в исходную дробь:
16!/9!·7!=16·15·14·13·12·11·10/7!Раскроем 7! в знаменателе: 7!=7·6·5·4·3·2·1.
Запишем выражение полностью и начнем сокращать:
16·15·14·13·12·11·10/7·6·5·4·3·2·1Сокращения:
- 14 в числителе и 7·2 в знаменателе (14/14=1).
- 15 в числителе и 5·3 в знаменателе (15/15=1).
- 12 в числителе и 6·4... подождите, давайте удобнее сгруппируем.
Давайте сократим по одному:
- 14/7=2 (осталось 2 в числителе вместо 14, убрали 7 из знаменателя).
- 15/5=3 (осталось 3 в числителе вместо 15, убрали 5 из знаменателя).
- 12/6=2 (осталось 2 в числителе вместо 12, убрали 6 из знаменателя).
- 10/2=5 (осталось 5 в числителе вместо 10, убрали одну двойку из знаменателя, например ту, что осталась после сокращения с 14? Нет, лучше системно).
Перепишем оставшиеся множители:
Числитель был: 16,15,14,13,12,11,10. Знаменатель был: 7,6,5,4,3,2,1.
1. Сократим 14 и 7: получаем 2 в числителе. 2. Сократим 15 и 5: получаем 3 в числителе. 3. Сократим 12 и 6: получаем 2 в числителе. 4. Сократим полученную ранее 2 (от 14/7) и 2 в знаменателе: они взаимно уничтожаются. 5. Сократим полученную ранее 3 (от 15/5) и 3 в знаменателе: они взаимно уничтожаются. 6. Осталось сократить 4 в знаменателе. Возьмем 16 в числителе: 16/4=4.
Итак, что осталось в числителе: - От 16: осталось 4. - От 15: сократилось полностью (с 5 и 3). - От 14: сократилось полностью (с 7 и 2). - От 13: осталось 13. - От 12: осталось 2 (после деления на 6). Но эту двойку мы использовали для сокращения с двойкой из знаменателя? Давайте пересчитаем аккуратно.
Давайте просто вычислим числитель и знаменатель отдельно или сокращаем последовательно:
16·15·14·13·12·11·10/7·6·5·4·3·2·1Сокращаем 14 и 7·2 (в знаменателе есть 7 и 2): 14/(7·2)=1. Убираем 14,7,2.
Сокращаем 15 и 5·3 (в знаменателе есть 5 и 3): 15/(5·3)=1. Убираем 15,5,3.
Сокращаем 12 и 6·? В знаменателе остался только 6 и 4 и 1. 12/6=2. Убираем 12,6. В числителе появляется множитель 2.
Теперь у нас в числителе: 16,13,11,10 и новый 2. Итого: 16·13·11·10·2. В знаменателе осталось: 4,1.
Сокращаем 16 и 4: 16/4=4.
Окончательный набор множителей в числителе: 4,13,11,10,2.
Вычислим их произведение:
4·2=8 8·10=80 80·11=880 880·13=? 880·10=8800 880·3=2640 8800+2640=11440Ответ для пункта г): 11440.
а) 120
б) 72
в) 1000
г) 11440
Решение основано на свойстве факториала n!=n(n-1)!. Для пунктов а, б, в используется прямое сокращение. Для пункта г требуется внимательное сокращение общих множителей между числителем 16·15·…·10 и знаменателем 7!. Результат соответствует биномиальному коэффициенту C716.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 204 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 204?
Краткий ответ: а) 120 б) 72 в) 1000 г) 11440.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 22. Комбинаторное правило умножения. Перестановки и факториал числа.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.