10–11 классы Число сочетаний и треугольник Паскаля § 23. Число сочетаний и треугольник Паскаля

ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 208: Число сочетаний и треугольник Паскаля

Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.

Ольга Кузнецова, методист по вероятности Шпаргача обновлено 11 сентября 2026

← 207 209 →

Условие

Найти вероятность того, что среди последних трёх цифр семизначного номера телефона

а) нет ни одного нуля

б) есть хотя бы одна девятка

в) присутствуют цифры 4, 6 и 3 (в любом порядке)

г) ровно одна двойка и ровно одна восьмёрка.

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

Рассмотрим последние три цифры семизначного номера телефона. Каждая цифра может принимать любое значение от 0 до 9, то есть всего 10 вариантов для каждой позиции.

Общее количество возможных комбинаций из трёх цифр равно произведению числа вариантов на каждой позиции: N=10·10·10=10³=1000.

Шаг 1. Пункт а) Нет ни одного нуля

Чтобы среди трёх цифр не было ни одного нуля, каждая из них должна быть выбрана из множества {1,2,3,4,5,6,7,8,9}. В этом множестве 9 элементов.

Количество благоприятных исходов (комбинаций без нулей): m_a=9·9·9=9³=729.

Вероятность события равна отношению благоприятных исходов к общему числу исходов: P(A)=m_a/N=729/1000=0,729.

Шаг 2. Пункт б) Есть хотя бы одна девятка

Событие «есть хотя бы одна девятка» является противоположным событию «нет ни одной девятки». Проще вычислить вероятность отсутствия девяток и вычесть её из единицы.

Если нет ни одной девятки, то каждая цифра выбирается из множества {0,1,2,3,4,5,6,7,8} (всего 9 вариантов). Количество таких комбинаций: m_no9=9³=729.

Вероятность того, что девяток нет: P(B)=729/1000=0,729.

Тогда вероятность наличия хотя бы одной девятки: P(B)=1-P(B)=1-0,729=0,271.

Шаг 3. Пункт в) Присутствуют цифры 4, 6 и 3

Нам нужно, чтобы в наборе из трёх цифр обязательно встречались цифры 4, 6 и 3. Поскольку у нас ровно три позиции и ровно три требуемые различные цифры, это означает, что каждая из этих цифр должна занять одну позицию, и других цифр быть не может.

Количество способов расставить три различные цифры (3,4,6) на трёх позициях — это число перестановок из трёх элементов: m_c=3!=3·2·1=6.

Благоприятные комбинации: (3,4,6),(3,6,4),(4,3,6),(4,6,3),(6,3,4),(6,4,3).

Вероятность события: P(C)=m_c/N=6/1000=0,006.

Шаг 4. Пункт г) Ровно одна двойка и ровно одна восьмёрка

В наборе из трёх цифр должны присутствовать ровно одна 2 и ровно одна 8. Третья цифра не может быть ни 2, ни 8 (иначе нарушится условие «ровно одна»). Значит, третья цифра выбирается из оставшихся 8 вариантов: {0,1,3,4,5,6,7,9}.

Рассмотрим структуру набора: у нас есть две фиксированные цифры (2 и 8) и одна переменная (x), где x∉{2,8}.

1. Выберем третью цифру x: есть 8 вариантов.

2. Расставим цифры 2,8,x на трёх позициях. Так как все три цифры различны (так как x≠2 и x≠8), количество перестановок равно 3!=6.

Общее количество благоприятных исходов: m_d=8·6=48.

Проверим логически: возможны следующие схемы расположения пар (2,8):

2 на 1-й, 8 на 2-й: третья позиция любая из 8 -> 1·1·8=8 вариантов.
2 на 1-й, 8 на 3-й: вторая позиция любая из 8 -> 1·8·1=8 вариантов.
2 на 2-й, 8 на 1-й: третья позиция любая из 8 -> 1·1·8=8 вариантов.
2 на 2-й, 8 на 3-й: первая позиция любая из 8 -> 8·1·1=8 вариантов.
2 на 3-й, 8 на 1-й: вторая позиция любая из 8 -> 1·8·1=8 вариантов.
2 на 3-й, 8 на 2-й: первая позиция любая из 8 -> 8·1·1=8 вариантов.

Сумма: 8+8+8+8+8+8=48. Верно.

Вероятность события: P(D)=m_d/N=48/1000=0,048.

Ответ

а) 0,729

б) 0,271

в) 0,006

г) 0,048

Задача решается через классическое определение вероятности. Общее число исходов 10³=1000. Для пункта а) считаем варианты из 9 цифр. Для пункта б) используем метод дополнения. Для пункта в) учитываем, что порядок важен, но набор фиксирован (перестановки). Для пункта г) фиксируем наличие двух конкретных цифр и перебираем варианты третьей, умножая на число перестановок.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 208 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 208?

Краткий ответ: а) 0,729 б) 0,271 в) 0,006 г) 0,048.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 23. Число сочетаний и треугольник Паскаля.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.