ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 212: Число сочетаний и треугольник Паскаля
Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.
Анна Соколова, методист по вероятности Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Сколькими способами можно разбить 20 человек на пары?
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Задача требует найти количество способов разбить 20 человек на пары. Это классическая комбинаторная задача, где порядок пар и порядок людей внутри пары не имеет значения.
Шаг 1. Анализ структуры разбиения
У нас есть 20 различных людей. Нам нужно образовать 10 пар. Давайте подумаем, как можно последовательно формировать эти пары:
- Выбираем первого человека из оставшихся. У него есть 19 вариантов выбрать себе пару (так как всего осталось 19 других людей).
- После того как первая пара сформирована, у нас остается 18 человек.
- Выбираем следующего свободного человека. У него есть 17 вариантов выбрать себе пару.
- И так далее, пока не останутся два последних человека, которые образуют последнюю пару (1 вариант).
Таким образом, общее число способов равно произведению всех возможных выборов для каждой новой пары.
Шаг 2. Вычисление по формуле двойного факториала или последовательному умножению
Количество способов разбить 2n элементов на n пар вычисляется по формуле:
P=(2n-1)·(2n-3)·…·3·1В нашем случае 2n=20, значит n=10. Подставим числа:
P=19·17·15·13·11·9·7·5·3·1Выполним вычисления поэтапно, чтобы избежать ошибок:
- 19·17=323
- 323·15=4845
- 4845·13=62985
- 62985·11=692835
- 692835·9=6235515
- 6235515·7=43648605
- 43648605·5=218243025
- 218243025·3=654729075
- 654729075·1=654729075
Шаг 3. Альтернативный метод через сочетания (проверка)
Можно также рассуждать так: сначала выбираем 2 человека из 20 для первой пары, затем 2 из оставшихся 18 для второй и т.д., а затем делим результат на 10!, так как порядок следования самих пар не важен.
N=C220·C218·C216·…·C22/10!Распишем числитель:
C22k=2k(2k-1)/2=k(2k-1)Тогда произведение в числителе:
∏10k=1k(2k-1)=(1·3)·(2·5)·(3·7)·…·(10·19)Сгруппируем множители differently:
Числитель =(1·2·3·…·10)·(3·5·7·…·19)=10!·(19!!)Подставляем в исходную формулу:
N=10!·19!!/10!=19!!Мы пришли к тому же самому выражению — произведению нечетных чисел от 1 до 19. Результат совпадает с предыдущим шагом.
Ответ: 654 729 075 способами.
654 729 075
Задача на разбиение множества на подмножества равного размера (пары). Использована формула двойного факториала (2n-1)!!. Проверка через деление перестановок на симметрии подтвердила результат.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 212 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 212?
Краткий ответ: 654 729 075.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 23. Число сочетаний и треугольник Паскаля.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.